Geometri Transformasi: Refleksi

Bercermin mungkin menjadi aktifitas harian bagi kita apalagi bagi para wanita. Ketika bercermin yang kita lihat adalah bayangan kita pada cermin yang dapat dipastikan mirip dan tanpa perubahan apapun. Dalam fisika bayangan yang berada dalam cermin tersebut dikatakan "maya". Posisi bagian tubuh pada bayangan umunya terbalik misalnya tangan kanan yang terletak di kiri namun, untuk posisi kepala dan kaki tidak ikut terbalik. Jarak antara bayangan dengan cermin terlihat sama dengan jarak antara tubuh kita dengan cermin.
Geometri transformasi juga mempelajari pencerminan atau dikenal pula dengan refleksi. Refleksi atau pencerminan merupakan salah satu transformasi yang juga tidak merubah ukuran maupun bentuk sama halnya dengan pergeseran atau translasi. Refleksi adalah suatu transformasi dengan memasangkan setiap titik pada bidang yang menggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik tersebut.

[Baca: Geometri Transformasi: Translasi]

Refleksi suatu bangun memiliki sifat-sifat
  • Bangun dengan bayangannya adalah kongruen, sehingga luas dan kelilingnya juga sama
  • Jarak bangun ke cermin sama dengan jarak bayangan ke cermin
  • sudut yang dibentuk oleh cermin dengan garis yang menghubungkan setiap titik ke bayangannya adalah sudut siku-siku.
Nah, dengan menggunakan sifat-sifat di atas kita dapat menentukan bayangan suatu bangun. Untuk lebih jelasnya berikut ini adalah beberapa pencerminan dalam bidang kartesius.

Pencerminan Terhadap Sumbu-x

Pencerminan terhadap sumbu-x yang dimaksudkan adalah bahwa sumbu-x pada bidang kartesius berperan sebagai cermin. Misalkan A(a, b) merupakan satu titik pada bidang kartesius, pencerminan titik A terhadap sumbu-x akan menghasilkan bayangan yaitu A'(a', b') dimana a' = a dan b' = -b. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut.
Dari gambar terlihat jika hanya nilai ordinat yang berubah pada bayangan sedangkan nilai absisnya sama dengan yang asli. Dengan demikian, pencerminan titik A(a, b) terhadap sumbu-x dapat ditulis
$A(a, b) \xrightarrow[]{sumbu-x} A'(a, -b)$
Sedangkan, matriks transformasinya dapat ditulis
$\begin{pmatrix}
a'\\ b'

\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
1 &0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a\\ b

\end{pmatrix}$

Pencerminan Terhadap Sumbu-y

Dalam hal ini, sumbu-y sebagai cermin. Misalkan B(a, b) merupakan suatu titik pada bidang kartesius, pencerminan titik B terhadap sumbu-x akan menghasilkan bayangan B'(a', b') dengan a' = -a dan b' = b. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut
Pencerminan titik B(a, b) terhadap sumbu-y dapat ditulis
$B(a, b) \xrightarrow[]{sumbu-y} B'(-a, b)$
Sedangkan, matriks transformasinya dapat ditulis
$\begin{pmatrix}
a'\\ b'

\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
-1 &0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a\\ b

\end{pmatrix}$

Pencerminan Terhadap Garis y = x

Misalkan titik C(a,b) merupakan suatu titik pada bidang kartesius, pencerminan titik C terhadap garis x = y menghasilkan bayangan C'(a', b') dengan a' = b dan b' = a. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut
Pencerminan titik C(a, b) terhadap garis y = x dapat ditulis
$C(a, b) \xrightarrow[]{y = x} C'(b, a)$
Sedangkan, matriks transformasinya dapat ditulis
$\begin{pmatrix}
a'\\ b'

\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
0 &1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a\\ b

\end{pmatrix}$


Pencerminan Terhadap Garis y = -x

Misalkan titik D(a,b) merupakan suatu titik pada bidang kartesius, pencerminan titik D terhadap garis x = y menghasilkan bayangan D'(a', b') dengan a' = -b dan b' = -a. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut
Pencerminan titik D(a, b) terhadap garis y = -x dapat ditulis
$D(a, b) \xrightarrow[]{y = -x} D'(-b, -a)$
Sedangkan, matriks transformasinya dapat ditulis
$\begin{pmatrix}
a'\\ b'

\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
0 &-1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a\\ b

\end{pmatrix}$

Pencerminan Terhadap Garis x = h

Misalkan titik E(a,b) merupakan suatu titik pada bidang kartesius, pencerminan titik E terhadap garis x = h menghasilkan bayangan E'(a', b') dengan a' = 2h - a dan b' = b. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut
Pencerminan titik E(a, b) terhadap garis x = h dapat ditulis
$E(a, b) \xrightarrow[]{x = h} E'(2h - a, b)$
Sedangkan, matriks transformasinya dapat ditulis
$\begin{pmatrix}
a'\\ b'

\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
-1 &0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a\\ b

\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2h\\ 0

\end{pmatrix}$

Pencerminan Terhadap Garis y = k

Misalkan titik F(a,b) merupakan suatu titik pada bidang kartesius, pencerminan titik F terhadap garis y = k menghasilkan bayangan F'(a', b') dengan a' = a dan b' = 2k - b. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut
Pencerminan titik F(a, b) terhadap garis y = k dapat ditulis
$F(a, b) \xrightarrow[]{y = k} F'(a, 2k - b)$
Sedangkan, matriks transformasinya dapat ditulis
$\begin{pmatrix}
a'\\ b'

\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
1 &0 \\
0 & -1

\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a\\ b

\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
0\\ 2k

\end{pmatrix}$

Pencerminan Terhadap Titik O(0,0)

Pencerminan tidak selalu terhadap garis atau sumbu, pencerminan dapat dilakukan terhadap titik. Misalkan titik G(a,b) merupakan suatu titik pada bidang kartesius, pencerminan titik G terhadap titik O(0, 0) atau titik asal akan menghasilkan bayangan G'(a', b') dengan a' = -a dan b' = -b. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut.
Perhatikan, apabila melalui titik G dan O dibuat suatu garis, bayangan dari G adalah G' dimana panjang GO = G'O dan titik G, O, dan G' adalah titik-titik yang segaris. Pencerminan titik G(a, b) terhadap titik asal O(0,0) dapat ditulis
$G(a, b) \xrightarrow[]{O(0,0)} G'(-a, - b)$
Sedangkan, matriks transformasinya dapat ditulis
$\begin{pmatrix}
a'\\ b'

\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
-1 &0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a\\ b

\end{pmatrix}$

Pencerminan Terhadap Titik T(p, q)

Pencerminan terhadap titik T(p, q) prinsipnya sama seperti pencerminan terhadap titik asal. Misalkan titik H(a,b) merupakan suatu titik pada bidang kartesius, pencerminan titik H terhadap titik T(p, q) atau titik asal akan menghasilkan bayangan H'(a', b') dengan a' = 2p - a dan b' = 2q - b.  Pencerminan titik H(a, b) terhadap titik asal T(p, q) dapat ditulis
$H(a, b) \xrightarrow[]{T(p, q)} H'(2p - a, 2p - b)$
Sedangkan, matriks transformasinya dapat ditulis
$\begin{pmatrix}
a'\\ b'

\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
-1 &0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a\\ b

\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2p\\ 2q

\end{pmatrix}$

Semua pencerminan di atas, dapat dilihat dengan mudah dengan menggunakan tabel berikut. Misalkan (x, y) merupakan titik yang akan dicerminkan maka

NoPencerminan Terhadap Bayangan (x, y) 
1 Sumbu-x (x, -y)
2 Sumbu-y (-x, y)
3 Garis y = x (y, x)
4 Garis y = -x (-y, -x)
5 Garis x = h (2h - x, y)
6 Garis y = k (x, 2k - y)
7 Titik O(0, 0) (-x, -y)
8 Titik T(p, q) (2p - x, 2q - y)

Dengan menggunakan tabel di atas, kita dapat melihat rumus pencerminan dengan mudah dan untuk menyelesaikan soal-soal kita tinggal melihat tabel tersebut. Agar lebih memahami penggunaanya dalam soal, berikut akan disajikan beberapa contoh soal terkait pencerminan atau refleksi.

Contoh 1
Tentukan bayangan titik A(2, 3) yang dicerminkan oleh garis y = -x!
Penyelesaian
A(2, 3) berarti x = 2 dan y = 3
x' = -y = -3
y' = -x = -2
Jadi, bayangan titik A(2, 3) adalah A'(-3, -2)

Contoh 2
Jika bayangan pencerminan terhadap titik P(-2, 1) adalah B'(6, 5). Tentukan titik B!
Penyelesaian
B'(6, 5) berarti x' = 6 dan y' = 5
x' = 2p - x , sehingga x = 2p - x' = 2(-2) - 6 = -10
y' = 2q - y, sehingga y = 2q - y' = 2(1) - 5 = -3
Jadi, titik B adalah (-10, -3)

Contoh 3
Tentukan bayangan dari garis y = 2x - 3 yang dicerminkan terhadap garis x = 3!
Penyelesaian
Pencerminan terhadap garis x = 3
x' = 2h - x, sehingga x = 2h - x' = 2(3) - x' = 6 - x'
y' = y atau y = y'
Substitusi x dan y ke persamaan garis
y' = 2(6 - x') - 3
y' = 12 - 2x' - 3
y' = -2x' + 9
Jadi, bayangan dari garis y = 2x - 3 adalah y = -2x + 9

Contoh 4
Tentukan bayangan lingkaran x$^{2}$ + y$^{2}$ - 2x + 4y - 3 = 0 yang direfleksikan terhadap sumbu-y!
Penyelesaian
Pencerminan terhadap sumbu-y
x' = -x, sehingga x = -x'
y' = y atau y = y'
Substitusi  x dan y ke dalam persamaan lingkaran
(-x')$^{2}$ + y'$^{2}$ - 2(-x') + 4y' - 3 = 0
x'$^{2}$ + y'$^{2}$ + 2x' + 4y' - 3 = 0
Jadi, bayangan lingkaran adalah x$^{2}$ + y$^{2}$ + 2x + 4y - 3 = 0

Sebenarnya, masih ada pencerminan yang belum di bahas yaitu pencerminan terhadap y = mx + c dan y = mx. Mengenai hal itu akan dibahas pada artikel yang lain. Demikianlah bahasan mengenai refleksi atau pencerminan yang meliputi pencerminan terhadap sumbu-x, sumbu-y, garis x = y, garis y = -x, garis x = h, garis y = k, titik asal O(0, 0),  dan terhadap titik T(p, q). Semoga bermanfaat.

Terima kasih atas komentar yang telah anda berikan
EmoticonEmoticon