Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dalam Sinus, Cosinus, dan Tangen

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang memiliki  derajat (orde) dua. Persamaan kuadrat yang biasanya kita temukan dalam bentuk ax$^2$ + bx + c = 0, bisa kita temukan dalam bentuk logaritma, bahkan dalam bentuk perbandingan trigonometri yaitu sinus (sin), cosinus (cos) dan tangen (tan). Nah, kali ini kita akan membahas persamaan kuadrat dalam sinus, cosinus, dan tangen. Sama dengan persamaan kuadrat pada umumnya, persamaan kuadrat dalam bentuk trigonometri bisa diselesaikan dengan tiga cara yaitu memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna, dan rumus kuadrat atau yang lebih dikenal dengan rumus abc.

Bentuk umum persamaan kuadrat dalam bentuk sinus, kosinus, dan tangen dapat berbentuk sebagai berikut.
asin$^2$x$^o$ + bsin$^o$ + c = 0
acos$^2$x$^o$ + btan$^o$ + c = 0 
atan$^2$x$^o$ + btan$^o$ + c = 0

Untuk menyelesaikan persamaan-persamaan kuadrat di atas, langkah pertama adalah dengan membuat pemisalan untuk perbandingan trigonometrinya. Kita misalkan saja dengan p, maka bentuk umum persmaan kuadrat di atas akan menjadi ap$^2$ + bp + c = 0 baik untuk sinus, cosinus maupun tangen. Kemudian kita tentukan nilai p yang memenuhi. Setelah didapat nilai p, kita kembalikan p menjadi perbendingan trigonometri dan kita akan memperoleh persamaan trigonometri sederhana. Terakhir kita selesaikan persmaan tersebut dengan cara yang dapat di baca pada artikel ini.

Namun, sebelum menentukan penyelesaian dari persmaan kuadrat di atas, ada syarat yang harus dipenuhi agar persamaan kuadrat di atas mempunyai penyelesaian. Untuk persamaan kuadrat dalam sinus dan cosinus, ada dua syarat yang harus dipenuhi yaitu
  1. Syarat perlu, D ≥ 0
  2. Syarat cukup, -1 ≤ p ≤ 1
Sedangkan, untuk persamaan kuadrat dalam tangen, hanya memerlukan satu syarat yang harus dipenuhi yaitu
Syarat perlu, D ≥ 0
Dengan D adalah diskriminan yang nilainya dapat ditentukan dengan D = b$^2$ - 4ac

Sebagai contoh, apakah sin$^2$x$^o$ + 7sin$^o$ + 12 = 0 mempunyai penyelesaian?
Penyelesaian
Misalkan sinx$^o$ = p, maka persamaanya dapat dtulis menjadi
p$^2$ + 7p + 12 = 0
D = b$^2$ - 4ac
D = 7$^2$ - 4(1)(12)
D = 49 - 48
D = 1 (D > 0, syarat perlu terpenuhi)

p$^2$ + 7p + 12 = 0
(p + 4)(p + 3) = 0
p + 4 = 0 atau p + 3 = 0
p = -4              p = -3
Nilai p < -1 (Syarat cukup tidak terpenuhi)
Maka, dapat disimpulkan jika persamaan sin$^2$x$^o$ + 7sin$^o$ + 12 = 0 tidak mempunyai penyelesaian.

Jika telah memahami syarat tersebut, sekarang kita lanjutkan dengan contoh soal persamaan kuadrat dalam bentuk trigonometri yang dapat diselesaikan.
Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri cos$^2$x$^o$ - cos$^o$ - 2 = 0 dalam interval 0 ≤ x ≤ 360!

Penyelesaian
Misalkan cosx$^o$ = p maka persamaanya dapat ditulis menjadi
p$^2$ - p - 2 = 0
(p + 1)(p - 2) = 0
p = -1 atau p = 2
Jika p = -1, maka
cosx$^o$ = -1
cosx$^o$ = cos 180$^o$
Untuk, x = 180$^o$ + k × 360$^o$
k = 0 → x = 180$^o$ + 0 × 360$^o$ = 180$^o$
Untuk, x = -180$^o$ + k × 360$^o$
k = 1 → x = -180$^o$ + 1 × 360$^o$ = 180$^o$

Jika p = -2, maka tidak memenuhi karena p < -1 (syarat cukup tidak terpenuhi)
Jadi, penyelesaiannya adalah {180$^o$}

Selain, bentuk-bentuk persamaan, seperti di atas ada beberapa kasus yang mengharuskan kita untuk mengubah  suatu persmaan trigonometri yang dapat diubah menjadi persmaan kuadrat dalam sinus, cosinus, dan tangen. Untuk mempermudah mengubah persmaan yang demikian maka kita dapat menggunakan beberapa rumus trigonometri berikut.
  1. sin x$^o$ =  $\frac{1}{cosec x^o}$
  2. cos x$^o$ =  $\frac{1}{sec x^o}$
  3. tan x$^o$ =  $\frac{1}{tan x^o}$
  4. tan x$^o$ =  $\frac{sin x^o}{cos x^o}$
  5. cot x$^o$ =  $\frac{cos x^o}{sin x^o}$
  6. sin$^2$x$^o$ + cos$^2$x$^o$ = 1
  7. 1 + tan$^2$ x$^o$ = sec$^2$ x$^o$
  8. 1 +  cot$^2$ x$^o$ = cosec$^2$ x$^o$
  9. sin 2x$^o$ = 2sin x$^o$cos x$^o$
  10. cos 2x$^o$ = cos$^2$ x$^o$ - sin$^2$ x$^o$
  11. cos 2x$^o$ = 1 - 2sin$^2$ x$^o$
  12. cos 2x$^o$ = 2cos$^2$ x$^o$ - 1
  13. tan 2x$^o$ = $\frac{2tan x^o}{1 - tan^2 x^o}$
Untuk lebih jelasnya, berikut akan disajikan contoh soal persamaan trigonometri beserta penyelesaiannya

Contoh 2
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri cos 2x$^o$ - 3sin x$^o$ - 1 = 0 dalam interval 0 ≤ x ≤ 360!

Penyelesaian
cos 2x$^o$ - 3sin x$^o$ - 1 = 0
1 - 2sin$^2$ x$^o$ - 3sin x$^o$ - 1 = 0
- 2sin$^2$ x$^o$ - 3sin x$^o$ = 0
- sin x$^o$ (2sin x$^o$ + 3) = 0
(tidak dilakukan pemisalan p, karena persamaan sudah sederhana)
-sin x$^o$ = 0 atau  2sin x$^o$ + 3 = 0
sin x$^o$ = 0            sin x$^o$ = -$\frac{3}{2}$
Jika, sin x$^o$ = 0 maka sin x$^o$ = 0$^o$
Untuk, x = 0$^o$ + k × 360$^o$
k = 0 → x = 0$^o$ + 0 × 360$^o$ = 0$^o$
k = 1  → x = 0$^o$ + 1 × 360$^o$ = 360$^o$
Untuk, x = (180$^o$ - 0$^o$) + k × 360$^o$
k = 0 → x =(180$^o$ - 0$^o$) + 0 × 360$^o$ = 180$^o$
Jika sin x$^o$ = -$\frac{3}{2}$, persamaan tidak mempunyai penyelesaian karena sin x$^o$ < -1
Jadi, himpunan penyelesaianya adalah {0$^o$, 180$^o$, 360$^o$}

Contoh 3
Tentukan Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri 2cos$^2$ 2x$^o$ + 2sin$^2$ x$^o$ - 1 = 0 dalam interval 0 ≤ x ≤ 2𝞹!

Penyelesaian
2cos$^2$ 2x$^o$ + 2sin$^2$ x$^o$ - 1 = 0
2cos$^2$ 2x$^o$ - (1 - 2sin$^2$ x$^o$) = 0
2cos$^2$ 2x$^o$ - cos$^2$ 2x$^o$ = 0
cos 2x$^o$(2cos 2x$^o$ - 1) = 0
cos 2x$^o$ = 0 atau cos 2x$^o$ = $\frac{1}{2}$
Jika cos 2x$^o$ = 0 maka cos 2x$^o$ = $\frac{𝞹}{2}$
Untuk 2x = $\frac{𝞹}{2}$ + k × 2𝞹 atau x = $\frac{𝞹}{4}$ + k × 𝞹
k = 0 → x = $\frac{𝞹}{4}$ + 0 × 𝞹 = $\frac{𝞹}{4}$
k = 1  → x = $\frac{𝞹}{4}$ + 1 × 𝞹 = $\frac{5𝞹}{4}$
Untuk 2x = -$\frac{𝞹}{2}$ + k × 2𝞹 atau x = -$\frac{𝞹}{4}$ + k × 𝞹
k = 1 → x = -$\frac{𝞹}{4}$ + 1 × 𝞹 = $\frac{3𝞹}{4}$
k = 2  → x = -$\frac{𝞹}{4}$ + 2 × 𝞹 = $\frac{7𝞹}{4}$

Jika cos 2x$^o$ = $\frac{1}{2}$ maka cos 2x$^o$ = $\frac{𝞹}{3}$
Untuk 2x = $\frac{𝞹}{3}$ + k × 2𝞹 atau x = $\frac{𝞹}{6}$ + k × 𝞹
k = 0 → x = $\frac{𝞹}{6}$ + 0 × 𝞹 = $\frac{𝞹}{6}$
k = 1  → x = $\frac{𝞹}{6}$ + 1 × 𝞹 = $\frac{7𝞹}{6}$
Untuk 2x = -$\frac{𝞹}{3}$ + k × 2𝞹 atau x = -$\frac{𝞹}{6}$ + k × 𝞹
k = 1 → x = -$\frac{𝞹}{6}$ + 1 × 𝞹 = $\frac{5𝞹}{6}$
k = 2  → x = -$\frac{𝞹}{6}$ + 2 × 𝞹 = $\frac{11𝞹}{6}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {$\frac{𝞹}{6}$, $\frac{𝞹}{4}$, $\frac{3𝞹}{4}$, $\frac{5𝞹}{6}$, $\frac{7𝞹}{6}$, $\frac{5𝞹}{4}$, $\frac{7𝞹}{4}$, $\frac{11𝞹}{6}$}

Contoh 4
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri tan x$^o$ + cot x$^o$ = -2 dalam interval 0 ≤ x ≤ 360!

Penyelesaian
tan x$^o$ + cot x$^o$ = -2
tan x$^o$ + $\frac{1}{tan x^o}$ = -2
tan$^2$ x$^o$ + 1 = -2tan x$^o$
tan$^2$ x$^o$ + 2tan x$^o$ + 1 = 0
(tan x$^o$ + 1)$^2$ = 0
tan x$^o$ + 1 = 0
tan x$^o$ = -1
tan x$^o$ = 135$^o$
x =  135$^o$ + k × 180$^o$
k = 0 → x = 135$^o$ + 0 × 180$^o$ = 135$^o$
k = 1  → x = 135$^o$ + 1 × 180$^o$ = 315$^o$
Jadi, himpunan penyelesaianya adalah {135$^o$, 315$^o$}

Demikianlah tadi mengenai Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dalam Sinus, Kosinus, dan Tangen, semoga bermanfaat.

Menyelesaikan Masalah Program Linear Dengan Metode Garis Selidik

Menentukkan nilai optimum (maksimum dan minimum) fungsi objektif suatu program linear dapat menggunakan uji titik pojok. Dalam metode uji titik pojok, tiap titik pojok (x, y) yang terletak pada daerah himpunan penyelesaian disubstitusikan ke fungsi tujuan ax + by. Dari hasil perhitungan tadi, kemudian dipilih nilai maksimum maupun nilai minimum bentuk objektif ax + by.

Selain menggunakan metode uji titik pojok, kita juga dapat menggunakan metode Garis Selidik. kita dapat menggunakan metode Garis Selidik. Garis Selidik adalah grafik persamaan dari fungsi tujuan yang digunakan untuk menentukan solusi optimum. Untuk lebih memahami garis selidik perhatikan gambar berikut
Keempat garis pada gambar menggambarkan garis-garis selidik atau dikenal pula dengan garis keuntungan dengan k$_1$ < k$_2$ < k$_3$ < k$_4$. Keempat garis merupakan garis-garis yang sejajar. Dalam masalah program linear, pada umumnya titik yang dilalui garis selidik yang letaknya melalui atau paling dekat dengan titik pangkal (0, 0) maka kita akan mendapatkan nilai fungsi objektif yang minimum. Dan sebaliknya, titik yang garis selidik yang paling jauh dari titik pangkal, maka kita akan mendapatkan nilai fungsi objektif yang maksimum. Dengan kata lain, semakin besar nilai k maka kita akan mendapatkan solusi maksimum sedangkan semakin kecil nilai k maka kita akan mendapatkan solusi minimum.

Nah, sekarang coba perhatikan gambar berikut!
Garis manakah yang akan memberikan solusi maksimum? Tentu jawabanya adalah garis ax + by = k$_3$. Garis ax + by = k$_3$ melalui titik P(x$_1$, y$_1$) yang berada dalam daerah penyelesaian sehingga, (a, b) merupakan solusi yang menyebabkan fungsi objektif/tujuan menjadi maksimum.

Bagaimana caranya menggambar garis selidik? Jika fungsi objektifnya f(x, y) = ax + by, maka garis selidiknya adalah ax + by = k dengan k adalah bilangan real. Untuk memudahkan persamaan garis selidik dapat kita tentukan yaitu ax + by = ab dimana k = ab. Dengan demikian akan lebih mudah menggambar garis selidiknya karena titik potong garis selidik dengan sumbu x adalah (b, 0) dan titik potong sumbu y-nya adalah (0, a).

Dari uraian di atas kita dapat membuat langkah-langkah penyelesaian masalah program linear dengan metode Garis Selidik yaitu:

  1. Tentukan model matematika dari masalah program linear yang akan kita selesaikan dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear
  2. Lukis/gambar pertidaksamaan dan tentukan daerah penyelesaianya
  3. Buat garis selidik ax + by = k, sesuai dengan fungsi objektif f(x, y) = ax + by dan temukan solusi optimumnya (maksimum atau minimum)
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut!

Contoh 1
Diketahui
3x + y ≤ 15
x + 2y ≤ 10
x ≥ 0
y ≥ 0
Tentukan nilai maksimum dari fungsi objektif f(x, y) = 2x + 5y

Penyelesaian
3x + y ≤ 15
x + 2y ≤ 10
x ≥ 0
y ≥ 0
f(x, y) = 2x + 5y
Catatan:
Jika belum paham menggambar sistem pertidaksamaan linear dua variabel silahkan baca artikel Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel. Untuk menentukan titik potong garis dapat menggunakan metode Eliminasi Substitusi

Kemudian buat garis selidik 2x + 5y = 10, kemudian geser ke atas garis selidik tersebut. Dari gambar terlihat bahwa garis yang sejajar garis selidik 2x + 5y =10 dan terletak paling jauh dari titik pangkal melalui titik (0, 5) yang termasuk himpunan penyelesaian. Sehingga, titik (0, 5) menyebabkan fungsi objektif menjadi maksimum yaitu:
f(0, 5) = 2(0) + 5(5) = 25
Jadi, nilai maksimum dari fungsi objektifnya adalah 25

Contoh 2
Pak Agus hendak mengangkut 60 ton barang dari gudang ke tokonya. Untuk itu, ia menyewa dua jenis truk. Truk A berkapasitas 3 ton dan truk B berkapasitas 2 ton. Harga sewa truk A Rp.500.000 dan truk B Rp400.000. Dengan cara sewa demikian, ia harus menyewa truk sekurang-kurangnya 24 buah. Tentukan banyak truk A dan truk B yang harus di sewa Pak Agus agar biayanya menjadi seminimum mungkin!

Penyelesaian
Model Matematika
3x + 2y ≤ 60
x + y ≥ 24
x ≥ 0
y ≥ 0
f(x, y) = 500000x + 400000y
Garis selidik 500000x + 400000y = 200000000000 dengan nilai k yang cukup besar dan tentu kita akan kesulitan untuk menggambarnya. Untuk itu, nilai k yang digunakan k = 2000000, garis selidiknya menjadi 500000x + 400000y = 2000000 atau apabila disederhanakan dengan membagi kedua ruas 100000 maka kita dapatkan garis selidik 5x + 4y = 20.

Setelah digeser didapatlah garis yang sejajar dengan garis 5x + 4y = 20 dan paling dekat dengan titik  pangkal serta titik yang dilaluinya adalah titik (20, 0). Sehingga titik (20, 0) akan memberikan solusi minimum
f(20, 0) = 500000(20) + 400000(0) = 1000000
Jadi, agar biaya menjadi minimum pak Agus harus menyewa 20 unit truk A dan tidak menyewa truk B dengan biaya sebesar Rp10.000.000

Pada prakteknya nanti, untuk memudahkan penentuan solusi optimum dengan menggunakan garis selidik anda dapat membuat garis selidik dan kemudian taruhlah penggaris sejajar dengan garis dan kemudian geser ke atas atau ke bawah untuk menemukan solusi optimum yang anda cari.

Kelemahan dari metode ini, adalah soal-soal yang memuat gambar  kadang-kadang tidak digambar dengan baik sehingga hasil yang didapatkan belum tentu benar. Untuk itu kita harus menggambar ulang secara manual tentunya dengan teliti dan benar. Dalam hal ini diperlukan keterampilan menggambarkan pertidaksamaan dan menentukan daerah penyelesaianya. Sehingga, hasil yang didapatkan diharapkan menjadi benar.

Jika dengan metode ini anda masih ragu dengan hasil yang didapatkan, anda dapat menggunakan metode Uji Titik Pojok. Namun, metode Uji Titik Pojok memerlukan langkah yang cukup panjang.

Menyelesaikan Masalah Program Linear dengan Metode Uji Titik Pojok

Program linear berkembang dan ditemukan oleh beberapa matematikawan pada masa sebelum Perang Dunia ke-II. Pengembangan  program linear pada masa tersebut rata – rata didasarkan karena persoalan atau masalah yang sedang berkembang saat itu, yaitu dalam hal industri dan peperangan. Program linear adalah suatu metode atau suatu cara yang digunakan untuk memecahkan masalah menjadi optimal (maksimum atau minimum). Program linear atau juga disebut dengan optimasi linear adalah suatu program yang digunakan untuk memecahkan masalah-masalah optimasi. Dalam program linear,  batasan-batasan atau kendala diubah atau diterjemahkan ke dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear. Nilai-nilai peubah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear mempunyai berbagai macam kemungkinan penyelesaian. Dari berbagai kemungkinan tersebut terdapat penyelesaian yang memberikan hasil yang terbaik yang disebut dengan penyelesaian optimum (minimum atau maksimum). Sehingga, tergambar jelas jika program linear digunakan untuk menemukan solusi terbaik atau optimum dari suatu ungsi tujuan (fungsi objektif).

Dari uraian di atas, diketahui bahwa program linear sangat erat kaitanya dengan sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Selain itu, dalam program linear diperlukan kemampuan dalam menafsirkan permasalahan menjadi kalimat matematika atau yang dikenal dengan model mateematika. Model matematika adalah rumusan matematika yang berupa persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi yang diperoleh dari hasil penafsiran atau terjemahan suatu masalah ke dalam bahasa matematika. Sebenarnya model matematika telah diperkenalkan pada materi sistem persamaan linear dua variabel. Pada program linear, kita akan lebih banyak menafsirkan permasalahan menjadi bentuk sistem pertidaksamaan linear. Berikut ini adalah contoh pembuatan model matematika

Pak Ahok membeli 3 buku tulis dan 5 pensil dengan harga Rp11.000 di toko ATK Indonesia. Pada toko yang sama Pak Jokowi juga membeli 4 buku tulis dan sebuah pensil dan mebayar Rp9.000. Jika Pak Prabowo ingin membeli 5 buku tulis dan 5 pensil pada toko tersebut, berapa ia harus membayar?

Dilihat dari pertanyaanya, yang ditanyakan adalah uang yang harus dibayarkan untuk membeli 5 buku tulis dan 5 pensil. Sehingga kita harus tahu berapa harga sebuah buku tulis dan harga sebuah pensil. Untuk memudahkan penulisannya kita misalkan x adalah harga sebah buku tulis dan y adalah harga sebuah pensil.
Dari Pak Ahok kita medapatkan hubungan
3x + 5y = 11000
Sedangkan, dari Pak Jokowi kita mendapat hubungan
4x + y = 9000
dan dari Pak Prabowo
5x + 5y = ....?
Dengan demikian kita mendapatkan model matematikanya
3x + 5y = 11000
4x + y = 9000

Nah, sekarang kita akan membahas model matematika untuk masalah program linear. Berikut adalah contoh permasalahan yang berkaitan dengan program linear.
Seorang pedagang  kue mendapat keuntungan Rp500 untuk kue Apem yang harga belinya Rp1.000  per buahdan mendapat keuntungan Rp400 untuk kue Naga Sari yang harga belinya Rp800 per buah. Modal yang dimiliki pedagang tersebut adalah Rp500.000. Sedangkan, kapasitas tempat penjualan kue hanya dapat menampung 550 kue. Berapa banyak kue Apem dan kue Naga Sari yang harus dibeli pedagang agar mendapat keuntungan sebesar-besarnya? dan berapakah keuntungan maksimunya?

Dari soal diperoleh bahwa
Misalkan x = banyak kue apem yang harus dibeli dan y = banyak kue naga sari yang harus dibeli, Kendala-kendala dalam masalah di atas dapat disajikan dalam tabel berikut

Untuk harga kue karena modal yang tersedia hanya Rp500.000, maka tanda yang pas untuk menggambarkan kendala tersebut adalah tanda "kurang dari" atau ≤, sehingga diperoleh pertidaksamaan
1000x + 800y ≤ 500000 atau 5x + 4y ≤ 2500
Sedangkan, daya tampung yang tersedia hanya 550 kg, jadi tanda yang pas digunakan adalah "kurang dari" atau ≤
x + y ≤ 550

Dengan demikan diperoleh model matematika untuk permasalahan di atas adalah
5x + 4y ≤ 2500
x + y ≤ 550
x ≥ 0
y ≥ 0
Dengan fungsi objektif
f(x, y) = 500x + 400y

x ≥ 0 dan y ≥ 0 dikenal sebagai kendala non negatif, karena bisa dibayangkan x yaitu banyak kue Apem dan y yaitu banyak kue Naga Sari  tidak mungkin bernilai negatif.

Dari contoh yang terakhir, tentu yang dicari adalah nilai optimum dari fungsi objektif. Untuk menentukan nilai optimumnya kita dapat menggunakan beberapa metode yaitu Metode Uji Titik Pojok, Metode Garis Selidik dan Metode Simpleks. Namun yang akan dibahas pada halaman ini hanya menggunakan Metode Uji Titik Pojok. Pada dasarnya metode apappun yang digunakan hakikatnya adalah mencoba-coba secara manual untuk menentukan nilai optimu dari suatu fungsi objektif. Untuk menggunakan Metode Uji Titik Pojok perhatikan  contoh berikut

Contoh 1
Diketahui model matematika dengan sistem pertidaksamaan
x + 4y ≤ 240
x + y ≤ 120
x ≥ 0
y ≥ 0
Fungsi Objektif : 20x + 30y
Tentukan nilai maksimum dari fungsi objektif tersebut!

Penyelesaian
Langkah pertama kita harus menggambar dan menentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas. Anda dapat mempelajarai cara menggambar grafik dan menentukan daerah penyelesaiannya pada artikel Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel. Namun, kali ini yang menjadi daerah penyelesaian adalah daerah yang diarsir bukan daerah bersih seperti pada artikel Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel. Nah, langsung saja berikut adalah gambarnya
Kemudian kita tentukan titik-titik pojok dari daerah penyelesaianya. Untuk menentukan titik potong garis x + 4y = 240 dan x + y = 120, kita dapat menggunakan metode Eliminasi Substitusi
Eliminasi x

Substitusi y = 40 ke persamaan x + y = 120
x + 40 = 120
x = 80
Jadi, titik potongnya (80, 40)
Dengan demikian diperoleh empat titik pojok yaitu (0, 0), (120, 0), (80, 40), dan (0, 60). Kemudian kita cari titik yang menyebabkan fungsi objektif menjadi maksimum

Jadi, nilai maksimum dari fungsi objektif : 20x + 30 y adalah 2800

Contoh 2
Seorang pedagang buah-buahan menggunakan gerobak untuk menjual Apel dan Pisang. Harga pebelian Apel Rp20.000 per kg dan Pisang Rp8.000 per kg. Modal yang tersedia Rp5.000.000. Sedangkan muatan gerobaknya tidak dapat melebihi 400 kg. Keuntungan Apel Rp3.000 per kg sedangkan Pisang Rp2.000. Agar pedagang mendapat keuntungan sebesar-besarnya, berapa banyak Apel dan Pisang yang harus dibeli pedagang?

Penyelesaian:
Misalkan harga 1 kg Apel = x dan harga 1 kg Pisang = y, maka diperoleh
20000x + 8000y ≤ 5000000 atau 5x + 2y ≤ 1250
x + y ≤ 400
x ≥ 0
y ≥ 0
Fungsi Objektif : 3000x + 2000y
Gambar grafik
Titik potong garis 5x + 2y =1250 dan x + y = 400 dapat ditentukan dengan
Eliminasi x

Substitusi x = 150 ke persamaan x + y = 400
150 + y = 400
y = 250
Jadi, titik potongnya (150, 250)
Sehingga, diperoleh empat titik pojok (0, 0), (250, 0), (150, 250), dan (0, 400).

Dari tabel terlihat bahwa fungsi objektif maksimum sebesar 950000. Dengan kata lain hal itu menunjukkan keuntungan paling besar yang dapat diperoleh pedagang. Jadi, banyak Apel dan Pisang yang harus dibeli agar pedagang mendapat keuntungan mmaksimum berturut-turut adalah 150 kg dan 250 kg.

Demikian tadi mengenai, menyelesaikan masalah program linear dengan menggunakan metode uji titik pojok. Semoga dapat dipahami dan bermanfaat.

Soal Latihan UAS Kelas 9 Kurikulum 2013 Semester Ganjil 2016/2017

Mendekati Ulangan Akhir Semester Ganjil tahun pelajaran 2016/2017 yang akan dilaksanakan oleh masing-masing satuan pendidikan. Kali ini, madematika akan berbagi soal latihan UAS untuk kelas 9 SMP. Soal ini khusus untuk kurikulum 2013. Soal dibuat dalam format file .pdf  dan file sudah diatur sedemikian rupa dengan ukuran font 10 Time New Roman sehingga soal hanya terdiri dari 3 halaman. Hal ini bertujuan agar para penggunanya dapat menggunakan tanpa harus khawatir menghabskan banyak kertas

Bentuk soal berupa pilihan ganda sebanyak 40 butir. Materi soal diambil berdasarkan materi semester ganjil kelas 9 yang menggunakan kurikulum 2013. Materi yang dimaksud terdiri dari 6 BAB yaitu

  1. Perpangkatan dan Bentuk Akar
  2. Pola, Barisan dan Deret
  3. Perbandingan Bertingkat
  4. Kesebangunan dan Kekongruenan
  5. Bangun Ruang Sisi Lengkung
  6. Statistika
Untuk mendapatkan soal silahkan kunjungi tautan ini.

Semoga bermanfaat

Soal Latihan UAS Kelas 9 Semester Ganjil 2016/2017

Mendekati Ulangan Akhir Semester Ganjil tahun pelajaran 2016/2017 yang akan dilaksanakan oleh masing-masing satuan pendidikan. Kali ini, madematika akan berbagi soal latihan UAS untuk kelas 9 SMP. Soal ini khusus untuk kurikulum 2006 atau KTSP. Soal dibuat dalam format file .pdf  dan file sudah diatur sedemikian rupa dengan ukuran font 10 Time New Roman sehingga soal hanya terdiri dari 3 halaman. Hal ini bertujuan agar para penggunanya dapat menggunakan tanpa harus khawatir menghabskan banyak kertas

Bentuk soal berupa pilihan ganda sebanyak 40 butir. Materi soal diambil berdasarkan materi semester ganjil kelas 9 yang menggunakan kurikulum KTSP. Materi yang dimaksud terdiri dari 4 BAB yaittu

  1. Kesebangunan dan Kekongruenan
  2. Bangun Ruang Sisi Lengkung
  3. Statistika
  4. Peluang
Untuk mendapatkan soal silahkan kunjungi tautan ini.

Semoga bermanfaat

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV)

Dalam bahasan kali ini, akan dibahas mengenai sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Sistem persamaan linear dua variabel merupakan bagian dari penyelesaian masalah program linear. Sehingga sangat penting untuk memahami materi ini terlebih dahulu sebelum mempelajari program linear. Sistem pertidaksamaan linear dua variabel tentu sangat berbeda dengan sistem persamaan linear dua variabel. Selain, perbedaan  tanda hubung yang dimiliki oleh keduanya. Bentuk penyelesaian dan metode penyelesaiannya juga tidak sama. Nah, untuk lebih jelasnya mengenai sistem pertidaksamaan linear simaklah ulasan berikut.


Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Sebelum membahas mengenai sistem pertidaksamaan linear dua variabel, terlebih dahulu kita mempelajari mengenai pertidaksamaan linear dua variabel. Pertidaksamaan linear dua variabel adalah kalimat terbuka matematika yang memuat dua variabel, dengan masing-masing variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan. Tanda ketidaksamaan yang dimaksud adalah >, <, ≤, atau ≥. Sehingga bentuk pertidaksamaan linear dapat dituliskan sebagai berikut.
ax + by > c
ax + by < c
ax + by ≥ c
ax + by ≤ c

berikut adalah contohnya
2x + 3y > 6
4x - y < 9

Berbeda dengan penyelesaian dari persamaan linear dua variabel yang berupa himpunan pasangan titik-titik atau jika digambar grafiknya akan berupa garis lurus, penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel berua daerah penyelesaian. Dalam praktiknya penyelesaian pertidaksamaan linear dapat berupa daerah diarsir atau sebaliknya daerah penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel berupa daerah bersih.

Untuk menentukkan daerah penyelesaiannya, dapat dilakukan melalui langkah-langkah berikut.

  1. Ubahlah tanda ketidaksamaan dari pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), sehingga diperoleh persamaan linear dua variabel
  2. Lukis grafik/garis dari persamaan linear dua variabel tadi. Hal ini dapat dilakukan dengan menentukan titik potong sumbu x dan sumbu y dari persamaan atau menggunakan dua titik sembarang yang dilalui oleh garis. Garis akan membagi dua bidang kartesius
  3. Lakukan uji titik yang tidak dilalui oleh garis (substitusi nilai x dan y titik ke pertidaksamaan). Jika menghasilkan pernyataan yang benar, artinya daerah tersebut merupakan penyelesaiannya, namun apabila menghasilkan pernyataan salah maka bagian lainnya lah yang merupakan penyelesaiaanya.

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut

Contoh 1
Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel berikut
a. 3x + y < 9
b. 4x - 3y ≥ 24
Penyelesaian
a. 3x + y < 9
3x + y = 9

Grafik Penyelesaian
(Garis putus-putus digunakan menunjukkan tanda ketidaksamaan < atau > dengan kata lain tanda ketidaksamaan tanpa sama dengan)
Uji titik (0, 0)
3(0) + 0 < 9
0 < 9 (benar)
Karena pernyataannya menjadi benar, maka (0, 0) termasuk penyelesaianya. Sehingga daerah yang memuat (0, 0) merupakan penyelesaianya. Dalam hal ini yang daerah bersih merupakan penyelesaian dari pertidaksamaan.

b. 4x - 3y ≥ 24
4x - 3y = 24

Grafik Penyelesaian
Uji titik (0, 0)
4(0) - 3(0) ≥ 24
0 ≥ 24 (salah)
Karena pernyataanya menjadi salah, maka (0, 0) bukan termasuk penyelesaianya. Sehingga daerah penyelesainnya tidak memuat (0, 0) dan daerah bersihnya (daerah penyelesaian) berada di bawah garis.

Untuk melakukan uji titik, tidak harus selalu menggunakkan titik (0, 0). Titik mana saja bisa digunakan asalkan titik tersebut tidak dilalui oleh garis persamaan. Pada dua contoh di atas, dasar pertimbangan menggunakan titik (0, 0) adalah selain tidak dilalui oleh garis serta mempermudah perhitungan.

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Sistem pertidakasamaan linear dua variabel adalah sistem pertidaksamaan yang melibatkan dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel. Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel merupakan daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan yang ada dalam sistem. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut

Contoh 2
Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan dua variabel berikut!
x + y ≤ 9
6x + 11 y ≤ 66
≥ 0
y ≥ 0
Penyelesaian
x + y ≤ 9
x + y = 9

6x + 11 y ≤ 66
6x + 11 y = 66

x ≥ 0, gambar garisnya berimpit dengan sumbu y dengan daerah penyelesaian di kanan sumbu y
y ≥ 0, gambar garisnya berimpit dengan sumbu x dengan daerah penyelesaian di atas sumbu x
Grafik Penyelesaian
Uji titik (0, 0)
0 + 0 ≤ 9
0  ≤ 9 (benar)

Uji titik (0, 0)
6(0) + 11(0) ≤ 66
0  ≤ 66 (benar)

Contoh 3
Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan dua variabel berikut!
x + y ≤ 5
4x + 6 y ≤ 24
x ≥ 1
y ≥ 2
Penyelesaian
x + y ≤ 5
x + y = 5

4x + 6 y ≤ 24
4x + 6 y = 24

x ≥ 1, gambar garisnya melalui x = 1 dan sejajar sumbu y dengan daerah penyelesaian di kanan garis
y ≥ 2, gambar garisnya melalui y = 2 dan sejajar sumbu x dengan daerah penyelesaian di atas garis
Grafik Penyelesaian
Uji titik (0, 0)
0 + 0 ≤ 9
0  ≤ 9 (benar)

Uji titik (0, 0)
6(0) + 11(0) ≤ 66
0  ≤ 66 (benar)

Demikianlah mengenai Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel, semoga dapat dipahami dan bermanfaat.

Persamaan Parabola Dengan Puncak di A (a, b)

Seperti yang telah dijelaskan pada artikel sebelumnya, persamaan parabola dapat ditentukan dengan mengetahui titik puncaknya. Titik puncaknya dapat berada pada titik O(0, 0) atau sembarang titik lainnya, misalkan titik A(a, b). Untuk persamaan parabola yang berpuncak di O(0, 0) dapat dipelajari pada artikel

[Baca: Persamaan Parabola dengan Puncak di O(0, 0)]

Sedangkan artikel kali ini akan membahas mengenai persamaan parabola yang berpuncak di A(a, b)
Perhatikan gambar berikut


Gambar di atas,  merupakan gambar parabola dengan puncak di A (a, b). Sumbu simetri dari parabola tersebut sejajar dengan sumbu-x yang persamaanya y = b. Titik fokus (focus) dari parabola di atas berjarak p satuan dari kanan titik puncak dengan demikian koordinat fokus F menjadi (a + p, b). Sedangkan garis direktriks (directrix) sejajar sumbu-y dan berjarak p satuan di sebelah kiri titik puncak  dengan persamaan x = a - p atau x - a + p = 0. Persamaan parabola di atas dapat ditentukan dengan cara berikut.

Misalkan, titik P(x, y) merupaksn titik yang dilalui oleh suatu parabola maka
Jarak PF = Jarak PQ
$\sqrt{(x - a - p)^2 + (y - b)^2}$ = $|x - a + p|$
 $\sqrt{(x - a - p)^2 + (y - b)^2}^2$ = $(x - a + p)^2$
$(x - a - p)^2 + (y - b)^2$ = $(x - a + p)^2$
$x^2 + a^2 + p^2$ $-2xa -2xp + 2ap$ $+ (y - b)^2$ = $x^2 + a^2 + p^2$ $-2xa +2xp - 2ap$
$-2xp + 2ap$ $+ (y - b)^2$ = $2xp - 2ap$
$(y - b)^2$ = $2xp - 2ap$ $+2xp - 2ap$
$(y - b)^2$ = $4xp - 4ap$
$(y - b)^2$ = $4p(x - a)$
Persamaaan terakhir merupakan persamaan parabola yang dicari. Dengan cara yang sama, kita dapat juga menentukan persamaan parabola lainnya. Dengan demikian, berdasarkan arah terbukanya, kita dapat membedakan persamaan parabola yang berpuncak di A(a, b) menjadi empat, diantaranya:
Parabola horisontal (mendatar) yang terbuka ke kanan
$(y - b)^2$ = $4p(x - a)$
Sumbu simetri parabola di atas y = b, titik fokus F(a + p, b), dan persamaan direktriksnya adalah x = a - p
Parabola horisontal yang terbuka ke kiri
$(y - b)^2$ = $-4p(x - a)$
Sumbu simetri parabola di atas y = b, titik fokus F(a - p, b), dan persamaan direktriksnya adalah x = a + p
Parabola vertikal (tegak) yang terbuka ke atas
$(x - a)^2$ = $4p(y - b)$
Sumbu simetri parabola di atas x = a, titik fokus F(a, b + p), dan persamaan direktriksnya adalah y = b - p
Parabola vertikal yang terbuka ke bawah
$(x - a)^2$ = $-4p(y - b)$
Sumbu simetri parabola di atas x = a, titik fokus F(a, b - p), dan persamaan direktriksnya adalah y = b + p

Perlu diingat bahwa pada tiap persamaan nilai p adalah positif dan p merupakan jarak fokus dengan titik puncak parabola. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut

Contoh 1
Diketahui persamaan parabola $y^2 - 4y - 4x + 8$ = $0$, tentukan koordinat titik puncak, persamaan sumbu simetri, koordinat fokus dan persamaan direktriksnya!
Penyelesaian
Agar memudahkan menentukan unsur-unsur yang dicari, maka kita ubah persamaan parabola yang diketahui menjadi persamaan bakunya.
$y^2 - 4y$ = $- 4x + 8$
$y^2 - 4y + 4$ = $-4x + 8 + 4$
$(y - 2)^2$ = $-4x + 12$
$(y - 2)^2$ = $-4(x - 3)$
$(y - 2)^2$ = $-4(1)(x - 3)$
Dari persamaan terakhir, terlihat bahwa parabola merupakan parabola horisontal yang terbuka ke kiri dengan p = 1
Titik puncaknya A(3, 2)
Persamaan sumbu simetri y = 2 (sejajar sumbu-x)
Koordinat fokus F(a - p, b) = F(3 - 1, 2) = F(2, 2)
Persamaan direktriksnya x = a + p = 3 + 1 = 4 atau x = 4 (sejajar sumbu-y)

Contoh 2
Tentukan persamaan parabola yang memiliki puncak di (2, 4) dan fokus di (5, 4)
Penyelesaian
A(2, 4)
F(5, 4) ini berarti p = 5 - 2 = 3
Persamaan para bola, merupakan parabola horisontal terbuka ke kanan. Sehingga
$(y - b)^2$ = $4p(x - a)$
$(y - 4)^2$ = $4(3)(x - 2)$
$(y - 4)^2$ = $12(x - 2)$
Jadi, persamaan parabolanya adalah $(y - 4)^2$ = $12(x - 2)$

Contoh 3
Tentukan persmaan parabola yang berpuncak di (2, -3) dan melalui titik (0, -5) dengan sumbu simetri sejajar dengan sumbu-y!
Penyelesaian
Parabola berpuncak di (2, -3) dan melalui titik (0, -5) dengan sumbu simetri sejajar dengan sumbu-y, ini berarti parabola merupakan parabola vertikal terbuka ke bawah
$(x - a)^2$ = $-4p(y - b)$
$(x - 2)^2$ = $-4p(y - (-3))$
$(x - 2)^2$ = $-4p(y + 3)$
Parabola melalui titik (0, -5) maka diperoleh
$(0 - 2)^2$ = $-4p(-5 + 3)$
$4$ = $-4p(-2)$
$4$ = $8p$
$p$ = $\frac{4}{8}$
$p$ = $\frac{1}{2}$
Sehingga persamaan parabolanya
$(x - 2)^2$ = $-4\frac{1}{2}(y + 3)$
$(x - 2)^2$ = $-2(y + 3)$
Jadi, persamaan parabolanya adalah $(x - 2)^2$ = $-2(y + 3)$

Demikianlah mengenai persamaan parabola yang berpuncak di A(a, b). Semoga bermanfaat

Persamaan Parabola dengan Puncak di O(0, 0)

Istilah parabola sudah tidak asing lagi ditelinga kita. Masyarakat umum mungkin lebih mengenal parabola sebagai sebuah antena. Antena parabola sebenarnya merupakan antena yang berbentuk parabola. dan parabola sendiri dalam matematika dikenal sebagai tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya ke suatu titik tertentu sama dengan jaraknya ke garis tertentu. Titik tertentu itu disebut titik api atau titik fokus (focus) dan garis tertentu itu disebut garis arah atau direktriks (directrix) dari suatu parabola. Berikut adalah contoh gambar parabola
Dari gambar di atas garis yang melalui titik fokus dan tegak lurus direktriks g disebut sumbu simetri parabola. Sumbu simetri memotong para bola pada puncaknya. Sedangkan garis yang melalui titik fokus dan tegak lurus sumbu simetri dan memotong parabola pada dua titik disebut dengan latus rectum

Berdasarkan titik puncaknya parabola dapat dibedakan menjadi dua yaitu parabola dengan puncak di O (0, 0) dan para bola dengan pusat di A (a, b). Pada bahasan kali ini akan dibahas mengenai parabola dengan titik puncak di O (0, 0) saja.

Persamaan Parabola dengan titik Puncak di O (0, 0)

Perhatikan gambar berikut!
Parabola di atas merupakan parabola dengan titik puncak di O(0, 0) dengan sumbu simetri berimpit dengan sumbu x. Fokus parabola berada pada titik F(p, 0) dan persamaan direktriksnya adalah x = -p. Misalkan titik P(x, y) merupakan sembarag titik yang berada pada para bola. Maka, berdasarkan definisi parabola berlaku
Jarak PF = jarak PM
Jarak PF = $\sqrt{(x - p)^2 + (y - 0)^2}$ = $\sqrt{(x - p)^2 + y^2}$
Jarak PM = |x + p|
Sehinga diperoleh
$\sqrt{(x - p)^2 + y^2}$ = |x + p|
$(\sqrt{(x - p)^2 + y^2})^2$ = $(x + p)^2$
$((x - p)^2 + y^2)^2$ = $x^2 + 2px + p^2$
$x^2 - 2px + p^2 + y^2$ = $x^2 + 2px + p^2$
$y^2$ = $4px$
Dengan demikian persamaan parabola yang berpuncak di O (0, 0) dan fokus di F(p, 0) adalah
$y^2$ = $4px$
Persamaan parabola di atas, membentuk parabola mendatar (horisontal) yang terbuka ke kanan.

Dengan cara yang sama kita juga dapat menentukan persamaan parabola lainnya diantaranya
Persamaan parabola yang berpuncak di O (0, 0) dan fokus di F(-p, 0)
$y^2$ = $-4px$
Persamaan parabola ini jika digambarkan, maka akan terbentuk parabola mendatar (parabola horisontal) yang terbuka ke kiri
Persamaan parabola yang berpuncak di O (0, 0) dan fokus F(0, p)
$x^2$ = $4py$
Persamaan parabola ini jika digambarkan, maka akan terbentuk parabola tegak (parabola vertikal) yang terbuka ke atas
Persamaan parabola yang berpuncak di O (0, 0) dan fokus F(0, -p)
$x^2$ = $-4py$
Persamaan parabola ini jika digambarkan, maka akan terbentuk parabola tegak (parabola vertikal) yang terbuka ke bawah

Keempat parabola tersebut dapat digambarkan sebagai berikut
Pada tiap persamaan di atas nilai p positif yang menyatakan jarak antara fokus dengan puncak parabola. Agar lebih memahaminya perhatikan contoh soal berikut

Contoh 1
Tentukan koordinat fokus, persamaan direktriks, persamaan sumbu simetri, serta panjang latus rectum dari persamaan parabola berikut
a. $y^2$ = $8x$
b. $x^2$ = $-16y$
Penyelesaian
a. $y^2$ = $8x$ atau $y^2$ = $4(2)x$
Diperoleh p = 2. Parabola dengan persamaan $y^2$ = $8x$ merupakan parabola mendatar dan terbuka ke kanan
Fokus di F(2, 0)
Persamaan direktriks adalah x = -2
Persamaan sumbu simetri adalah sumbu x atau y = 0
Untuk menentukan panjang latus rectumnya maka kita perlu menentukan titik ujung-ujungnya yang berpotongan dengan parabola. Karena latus rectum melalui fokus maka kita dapat mensubstitusikan nilai x = 2 pada persamaannya
$y^2$ = $8(2)$
$y^2$ = $16$
$y$ = $\pm4$
Dengan demikian koordinat titik ujung-ujungya (2, 4) dan (2, -4)
Jadi, latus rectumnya = 4 - (-4) = 8 (jarak ujung-ujungnya)
b.  $x^2$ = $-16y$ atau  $x^2$ = $-4(4)y$
Diperoleh p = 4. Parabola dengan persamaan $x^2$ = $-16y$ merupakan parabola vertikal dan terbuka ke bawah
Fokus di F(0, -4)
Persamaan direktriks adalah x = 4
Persamaan sumbu simetri adalah sumbu y atau x = 0
Substitusikan nilai y = -4 pada persamaannya
$x^2$ = $-16(-4)$
$x^2$ = $64$
$x$ = $\pm8$
Dengan demikian koordinat titik ujung-ujungya (8, -4) dan (-8, -4)
Jadi, latus rectumnya = 8 - (-8) = 16

Contoh 2
Tentukan persamaan parabola yang berpuncak di O(0, 0) dengan fokus F(-3, 0)!
Penyelesaian
Karena fokusnya di F(-3, 0), maka p = 3 dan merupakan parabola horisontal yang terbuka ke kiri
$y^2$ = $-4px$
$y^2$ = $-4(3)x$
$y^2$ = $-12x$
Jadi, persamaan parabolanya adalah $y^2$ = $-12x$

Contoh 3
Tentukan persamaan parabola yang berpuncak di O(0, 0) dengan fokus pada sumbu Y dan melalui titik (-6, 2)!
Penyelesaian
Karena fokusnya pada sumbu Y dan melalui titik (-6, 2), maka merupakan parabola vertikal yang terbuka ke atas
$x^2$ = $4py$
$(-6)^2$ = $4p(2)$
$16$ = $8p$
$4p$ = $\frac{16}{2}$
$4p$ = $8$
Sehingga,
$x^2$ = $8y$
Jadi, persamaan parabolanya adalah $x^2$ = $8y$

Nah, demikianlah mengenai persamaan parabola dengan puncak di O(0, 0) beserta contoh soalnya. mengenai persamaan parabola yang berpuncak di A(a, b) akan dibahas pada artikel berikutnya. Semoga bermanfaat.

Geometri Transformasi: Dilatasi

Transformasi yang keempat dalam geometri transformasi adalah dilatasi. Istilah dilatasi tidak hanya dikenal dalam matematika. Dilatasi juga dikenal dalam bidang kesehatan serta dalam bidang arsitektur. Dalam ilmu kesehatan, dilatasi merupakan pelebaran atau peregangan struktur tubular. Contoh dilatasi dalam bidang kesehatan adalah dilatasi pembuluh darah oleh obat-obatan yang dimaksudkan untuk menurunkan tekanan darah. Pada bidang arsitektur, dilatasi adalah sebuah sambungan/garis pada sebuah bangunan yang karena sesuatu hal memiliki sistem struktur berbeda.

Dilatasi dalam matematika sering juga disebut dengan perkalian. Dilatasi adalah suatu transformasi yang merubah ukuran baik itu memperbesar atau memperkecil suatu bangun, namun tidak mengubah bentuk bangunnya. Dengan demikian dilatasi dikatakan sebagai transformasi non isometri tidak seperti transformasi lainnya yaitu translasi, refleksi dan rotasi.

Dilatasi ditentukan oleh titik pusat dan faktor (faktor skala) dilatasi serta dilatasi memiliki sifat-sifat sebagai berikut

  • Invers dari dilatasi AB --> A' B' adalah A' B' --> AB
  • Dilatasi tidak mempertahankan ukuran, namun tetap mempertahankan urutan
  • Hasil kali dilatasi merupakan dilatasi yang dilanjutkan dengan dilatasi yang lain. Dengan demikian, hasil kali dilatasi AB--> A'B' dan A'B'--> A''B'' adalah dilatasi AB--> A''B''. Jadi hasil kali dilatasi dengan inversnya adalah identitas AB-->AB
  • Garis-garis yang menghubungkan suatu titik dan bayangannya disebut garis invariant. Garis-garis tersebut berpotongan pada satu titik atau sejajar


Faktor skala dalam dilatasi sering disimbolkan dengan "k" yang merupakan perbandingan antara jarak titik bayangan dari titik pusat dilatasi dan jarak titik benda berkaitan dengan titik pusat dilatasi. Pada dilatasi suatu bangun faktor skala k akan menentukan ukuran dan letak bangun bayangan. Berikut adalah nilai k yang dimaksud

  1. Jika k > 1, maka  bayangan diperbesar dan letaknya sepihak dengan pusat dilatasi dan bangun semula.
  2. Jika 0 < k < 1, maka bangun bayangan diperkecil dan letaknya sepihak dengan pusat dilatasi dan bangun semula.
  3. Jika -1 < k < 0, maka bangun bayangan diperkecil dan letaknya berlainan pihak dengan pusat dilatasi dan bangun semula.
  4. Jika k < -1, maka bangun bayangan diperbesar dan letaknya berlainan dengan pusat dilatasi dan bangun semula.
Seperti yang sebelumnya telah dijelaskan dilatasi dipengaruhi juga oleh titik pusat dilatasi. Berdasarkan pusatnya maka dilatasi dapat dibedakan menjadi dua yaitu dilatasi terhadap titik pusat O(0, 0) dan A(a, b)

Dilatasi Terhadap Titik Pusat O(0, 0)

Dilatasi titik P(x, y) terhadap titik pusat O(0,0) akan menghasilkan bayangan titik P'(x', y') dimana x' = kx dan y' = ky. Secara matematis dilatasi tersebut dapat ditulis

$A(a, b) \xrightarrow[]{[O, k]} A'(kx, ky)$
Sedangkan, matriks yang bersesuaian dengan transformasinya dapat ditulis
$\begin{pmatrix}
x'\\ y'

\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
k &0 \\
0 & k
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\ y

\end{pmatrix}$

Dilatasi Terhadap Titik A(a, b)

Dilatasi titik P(x, y) terhadap titik A(a, b) akan menghasilkan bayangan titik P'(x', y') dimana x' = k(x - a) + a dan y' = k(y - b) + b. Secara matematis dilatasi tersebut dapat ditulis
$A(a, b)$ $ \xrightarrow[]{[A(a, b), k]}$ $A'(k(x - a) + a, k(y - b) + b)$
Sedangkan, matriks yang bersesuaian dengan transformasinya dapat ditulis
$\begin{pmatrix}
x'\\ y'

\end{pmatrix}$= $\begin{pmatrix}
k &0 \\
0 & k
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x - a\\ y - b

\end{pmatrix}$+$\begin{pmatrix}
a\\ b

\end{pmatrix}$

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut

Contoh 1
Tentukan bayangan titik (3, 9) oleh dilatasi [A(1, 5), 2]!
Penyelesaian
Karena pusat A(1, 5), maka
x' = k(x - a) + a
x' = 2(3 - 1) + 1
x' = 5

y' = k(y - b) + b
y' = 2(9 - 5) + 5
y' = 13

Jadi, bayangangannya adalah (5, 13)

Contoh 2
Bayangan kurva y = 3x$^{2}$ + 6x - 1 oleh dilatasi dengan pusat O(0, 0) dan faktor skala 3 adalah ...
Penyelesaian
Karena pusat O(0,0)maka
x' = kx
x' = 3x maka x = $\frac{1}{3}$x'

y' = ky
y' = 3y maka y =  $\frac{1}{3}$y'

Substitusikan x dan y ke dalam persamaan kurva
$\frac{1}{3}$ y' = 3$(\frac{1}{3}$x'$)^{2}$ + 6$\times$$\frac{1}{3}$x' - 1
$\frac{1}{3}$ y' = 3$\times$$\frac{1}{9}$x'$^{2}$ + 2x' - 1
$\frac{1}{3}$ y' = $\frac{1}{3}$x'$^{2}$ + 2x' - 1
y' = x'$^{2}$ + 6x' - 3
Jadi, bayangan kurva adalah y = x$^{2}$ + 6x - 3

Geometri Transformasi: Rotasi

Rotasi adalah perputaran benda pada suatu sumbu yang tetap. Rotasi dapat kita lihat contohnya perputaran gasing, perputaran bumi pada porosnya, bahkan matahari pun juga berotasi. Rotasi matahari berlansung selama 27 hari dalam 1 periode. Namun, rotasi kali ini bukan membahas mengenai rotasi pada gasing, bumi, ataupun matahari. Rotasi yang akan dibahas berkaitan dengan geometri transformasi.
Rotasi Bumi

Rotasi dalam kaitan geometri transformasi adalah suatu transformasi yang memasangkan titik ke himpunan titik yang lainya dengan cara memutar. Bayangan hasil rotasi akan kongruen dengan aslinya sehingga Rotasi termasuk transformasi isometri sama seperti Translasi (Perpindahan) dan Refleksi (pencerminan)

[Baca : Geometri Transformasi: Translasi]
[Baca : Geometri Transformasi: Refleksi]

Rotasi pada suatu objek ditentukan oleh beberapa faktor yaitu

  1. Pusat Rotasi, yaitu berupa titik yang digunakan sebagai pusat dari rotasi
  2. Sudut Rotasi, yaitu besar sudut yang digunakan untuk menentukan jauhnya rotasi
  3. Arah Rotasi, dalam hal ini arah rotasi dapat bertanda positif yang maksudnya berlawanan  denganarah jarum jam dan bertanda negatif yang maksudnya adalah serarah dengan jarum jam.


Dalam koodinat kartesius rotasi menurut sumbu atau pusatnya dibedakan menjadi dua yaitu rotasi dengan pusat di O(0, 0) dan rotasi dengan pusat di A(a, b)

Rotasi Dengan Pusat di O(0, 0)

Perhatikan gambar di bawah!
Dari gambar terlihat bahwa titik P dirotasi sejauh $\alpha$ terhadap titik pustat O(0, 0). $\theta$ adalah sudut antara sumbu-x dengan OP. P' adalah bayangan dari P dan r adalah jarak antara pusat dengan titik P dimana OP = OP' = r. Rotasi tersebut dinotasikan dengan
$P(x, y) \xrightarrow[]{R(O, \alpha )} P'(x', y')$

Dari titik P(x, y) dan sudutnya ($\theta$) diperoleh bahwa
x = r cos$\theta$
y = r sin$\theta$

Kemudian dari titik P' dan sudutnya ($\alpha$ + $\theta$) diperoleh
x' = r cos($\alpha$ + $\theta$)
x' = r cos$\alpha$ cos$\theta$ - r sin$\alpha$ sin$\theta$
x' = x cos$\alpha$ - y sin$\alpha$

y' = r sin($\alpha$ + $\theta$)
y' = r sin$\alpha$ cos$\theta$ + r cos$\alpha$ sin$\theta$
y' = x sin$\alpha$ + y cos$\alpha$
Jadi rotasi P(x, y) sebesar $\alpha$ dengan pusat di O(0, 0) akan menghasilkan bayangan P'(x', y') dengan
x' = x cos$\alpha$ - y sin$\alpha$
y' = x sin$\alpha$ + y cos$\alpha$
Matriks yang bersesuaian dengan rotasi tersebut adalah
$\begin{pmatrix}
x'\\ y'

\end{pmatrix}$= $\begin{pmatrix}
cos\alpha &-sin\alpha \\
sin\alpha  & cos\alpha
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\ y

\end{pmatrix}$

Selanjutnya, telah diketahui bahwa terdapat beberapa nilai perbandingan trigonometri terutama pada sinus dan cosinus yang nantinya dapat diselesaikan dengan mudah. Sudut-sudut besar rotasi yang mudah diselesaikan diantaranya -270$^{o}$, -180$^{o}$, -90$^{o}$, 0$^{o}$, 90$^{o}$, 180$^{o}$, dan 270$^{o}$ karena sudut-sudut tersebut akan bernilai -1, 0, 1 (Cobalah cari nilai sinus dan cosinus sudut-sudut tersebut). Sehingga didapat hasil rotasi dengan pusat di O(0, 0) seperti dalam tabel berikut

NoRotasi Bayangan 
1 R(O, -270$^{o}$) (-y, x)
2 R(O, -180$^{o}$) (-x, -y)
3 R(O, -90$^{o}$) (y, -x)
4 R(O, 0$^{o}$) (x, y)
5 R(O, 90$^{o}$) (-y, x)
6 R(O, 180$^{o}$) (-x, -y)
7 R(O, 270$^{o}$) (y, -x)

Untuk lebih jelasnya mengenai rotasi dengan pusat di O(0, 0) perhatikan contoh berikut

Contoh 1
Titik P(2, 10) dirotasi $\frac{\pi}{3}$  dengan pusat putar O(0, 0).
Penyelesaian
P(2, 10) maka x = 2 dan y = 10
sin $\frac{\pi}{3}$ = $\frac{1}{2} \sqrt{3}$
cos $\frac{\pi}{3}$ = $\frac{1}{2} $
x' = x cos$\alpha$ - y sin$\alpha$
x' = 2 cos$\frac{\pi}{3}$ - y sin$\frac{\pi}{3}$
x' = 2 $\times$$\frac{1}{2} $  - 10 $\times$$\frac{1}{2} \sqrt{3}$
x' = 1 - 5$\sqrt{3}$

y' = x sin$\alpha$ + y cos$\alpha$
y' = 2 sin$\frac{\pi}{3}$ + 10 cos$\frac{\pi}{3}$
y' = 2 $\times$$\frac{1}{2}\sqrt{3} $  + 10 $\times$$\frac{1}{2}$
y' = $\sqrt{3} $ + 5
Jadi, bayangan P adalah (1 - 5$\sqrt{3}$, $\sqrt{3} $ + 5)

Contoh 2 
Tentukan bayangan garis x - y + 3 = 0 dirotasi sebesar 90$^{o}$ dengan pusat putar pada O(0, 0)
Penyelesaian
Rotasi 90$^{o}$ dengan pusat putar pada O(0, 0), maka
x' = -y atau y = -x'
y' = x atau x = y'

Sehingga bayangannya
y' - (-x') + 3 = 0
x' + y' + 3 = 0
Jadi, bayangan garis  x - y + 3 = 0 adalah x + y + 3 = 0

Rotasi Dengan Pusat di A(a, b)

Perhatikan gambar berikut
Jika P(x, y) dirotasi sebesar $\alpha$ dengan pusat di A(a, b) dengan bayangan P'(x', y'), maka yang terjadi adalah pergeseran pusat rotasi a untuk absisnya dan b untuk ordinatnya dari titik pusat O(0, 0). Sehingga diperoleh
x - a = r cos$\theta$
y - b = r sin$\theta$

serta
x' - a = r cos($\alpha$ + $\theta$)
x' - a = r cos$\alpha$ cos$\theta$ - r sin$\alpha$ sin$\theta$
x' - a = (x - a) cos$\alpha$ - (y - b) sin$\alpha$
x' = (x - a) cos$\alpha$ - (y - b) sin$\alpha$ + a

y' - b = r sin($\alpha$ + $\theta$)
y' - b = r sin$\alpha$ cos$\theta$ + r cos$\alpha$ sin$\theta$
y' - b = (x - a) sin$\alpha$ + (y - b) cos$\alpha$
y' = (x - a) sin$\alpha$ + (y - b) cos$\alpha$ + b
Jadi rotasi P(x, y) sebesar $\alpha$ dengan pusat di A(a, b) akan menghasilkan bayangan P'(x', y') dengan
x' = (x - a) cos$\alpha$ - (y - b) sin$\alpha$ + a
y' = (x - a) sin$\alpha$ + (y - b) cos$\alpha$ + b

Matriks yang bersesuaian dengan rotasi tersebut adalah
$\begin{pmatrix}
x'\\ y'

\end{pmatrix}$=$ \begin{pmatrix}
cos\alpha &-sin\alpha \\
sin\alpha  & cos\alpha
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x - a\\ y - b

\end{pmatrix}$+$\begin{pmatrix}
a\\ b

\end{pmatrix}$

Agar, lebih memahaminya silahkan simak contoh soal berikut

Contoh 3
Tentukan bayangan P(2, -6) dirotasi 30$^{o}$ dengan pusat rotasi pada titik A(2, 4)!
Penyelesaian
P(2, -6) maka x = 2 dan y = -6
sin 30$^{o}$ = $\frac{1}{2} $
cos 30$^{o}$ = $\frac{1}{2} \sqrt{3}$
A(2, 4) maka a = 2 dan b = 4
x' = (x - a) cos$\alpha$ - (y - b) sin$\alpha$ + a
x' = (2 - 2) cos30$^{o}$ - (-6 - 4) sin30$^{o}$ + 2
x' = 0 - (-10)$\frac{1}{2} $ + 2
x' = 5 + 2
x' = 7

y' = (2 - 2) sin$\alpha$ + (y - b) cos$\alpha$ + b
y' = (2 - 2) sin30$^{o}$ + (-6 - 4) cos30$^{o}$ + 4
y' = 0 + (-10)$\frac{1}{2} \sqrt{3}$ + 4
y' = -5 $\sqrt{3}$ + 4
Jadi, bayangan dari P adalah (7, -5 $\sqrt{3}$ + 4)

Demikianlah tadi mengenai rotasi dengan pusat di O(0, 0) dan A(a, b). Semoga bermanfaat