Geometri Transformasi: Dilatasi

Transformasi yang keempat dalam geometri transformasi adalah dilatasi. Istilah dilatasi tidak hanya dikenal dalam matematika. Dilatasi juga dikenal dalam bidang kesehatan serta dalam bidang arsitektur. Dalam ilmu kesehatan, dilatasi merupakan pelebaran atau peregangan struktur tubular. Contoh dilatasi dalam bidang kesehatan adalah dilatasi pembuluh darah oleh obat-obatan yang dimaksudkan untuk menurunkan tekanan darah. Pada bidang arsitektur, dilatasi adalah sebuah sambungan/garis pada sebuah bangunan yang karena sesuatu hal memiliki sistem struktur berbeda.

Dilatasi dalam matematika sering juga disebut dengan perkalian. Dilatasi adalah suatu transformasi yang merubah ukuran baik itu memperbesar atau memperkecil suatu bangun, namun tidak mengubah bentuk bangunnya. Dengan demikian dilatasi dikatakan sebagai transformasi non isometri tidak seperti transformasi lainnya yaitu translasi, refleksi dan rotasi.

Dilatasi ditentukan oleh titik pusat dan faktor (faktor skala) dilatasi serta dilatasi memiliki sifat-sifat sebagai berikut

  • Invers dari dilatasi AB --> A' B' adalah A' B' --> AB
  • Dilatasi tidak mempertahankan ukuran, namun tetap mempertahankan urutan
  • Hasil kali dilatasi merupakan dilatasi yang dilanjutkan dengan dilatasi yang lain. Dengan demikian, hasil kali dilatasi AB--> A'B' dan A'B'--> A''B'' adalah dilatasi AB--> A''B''. Jadi hasil kali dilatasi dengan inversnya adalah identitas AB-->AB
  • Garis-garis yang menghubungkan suatu titik dan bayangannya disebut garis invariant. Garis-garis tersebut berpotongan pada satu titik atau sejajar


Faktor skala dalam dilatasi sering disimbolkan dengan "k" yang merupakan perbandingan antara jarak titik bayangan dari titik pusat dilatasi dan jarak titik benda berkaitan dengan titik pusat dilatasi. Pada dilatasi suatu bangun faktor skala k akan menentukan ukuran dan letak bangun bayangan. Berikut adalah nilai k yang dimaksud

  1. Jika k > 1, maka  bayangan diperbesar dan letaknya sepihak dengan pusat dilatasi dan bangun semula.
  2. Jika 0 < k < 1, maka bangun bayangan diperkecil dan letaknya sepihak dengan pusat dilatasi dan bangun semula.
  3. Jika -1 < k < 0, maka bangun bayangan diperkecil dan letaknya berlainan pihak dengan pusat dilatasi dan bangun semula.
  4. Jika k < -1, maka bangun bayangan diperbesar dan letaknya berlainan dengan pusat dilatasi dan bangun semula.
Seperti yang sebelumnya telah dijelaskan dilatasi dipengaruhi juga oleh titik pusat dilatasi. Berdasarkan pusatnya maka dilatasi dapat dibedakan menjadi dua yaitu dilatasi terhadap titik pusat O(0, 0) dan A(a, b)

Dilatasi Terhadap Titik Pusat O(0, 0)

Dilatasi titik P(x, y) terhadap titik pusat O(0,0) akan menghasilkan bayangan titik P'(x', y') dimana x' = kx dan y' = ky. Secara matematis dilatasi tersebut dapat ditulis

$A(a, b) \xrightarrow[]{[O, k]} A'(kx, ky)$
Sedangkan, matriks yang bersesuaian dengan transformasinya dapat ditulis
$\begin{pmatrix}
x'\\ y'

\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
k &0 \\
0 & k
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\ y

\end{pmatrix}$

Dilatasi Terhadap Titik A(a, b)

Dilatasi titik P(x, y) terhadap titik A(a, b) akan menghasilkan bayangan titik P'(x', y') dimana x' = k(x - a) + a dan y' = k(y - b) + b. Secara matematis dilatasi tersebut dapat ditulis
$A(a, b)$ $ \xrightarrow[]{[A(a, b), k]}$ $A'(k(x - a) + a, k(y - b) + b)$
Sedangkan, matriks yang bersesuaian dengan transformasinya dapat ditulis
$\begin{pmatrix}
x'\\ y'

\end{pmatrix}$= $\begin{pmatrix}
k &0 \\
0 & k
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x - a\\ y - b

\end{pmatrix}$+$\begin{pmatrix}
a\\ b

\end{pmatrix}$

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut

Contoh 1
Tentukan bayangan titik (3, 9) oleh dilatasi [A(1, 5), 2]!
Penyelesaian
Karena pusat A(1, 5), maka
x' = k(x - a) + a
x' = 2(3 - 1) + 1
x' = 5

y' = k(y - b) + b
y' = 2(9 - 5) + 5
y' = 13

Jadi, bayangangannya adalah (5, 13)

Contoh 2
Bayangan kurva y = 3x$^{2}$ + 6x - 1 oleh dilatasi dengan pusat O(0, 0) dan faktor skala 3 adalah ...
Penyelesaian
Karena pusat O(0,0)maka
x' = kx
x' = 3x maka x = $\frac{1}{3}$x'

y' = ky
y' = 3y maka y =  $\frac{1}{3}$y'

Substitusikan x dan y ke dalam persamaan kurva
$\frac{1}{3}$ y' = 3$(\frac{1}{3}$x'$)^{2}$ + 6$\times$$\frac{1}{3}$x' - 1
$\frac{1}{3}$ y' = 3$\times$$\frac{1}{9}$x'$^{2}$ + 2x' - 1
$\frac{1}{3}$ y' = $\frac{1}{3}$x'$^{2}$ + 2x' - 1
y' = x'$^{2}$ + 6x' - 3
Jadi, bayangan kurva adalah y = x$^{2}$ + 6x - 3

Geometri Transformasi: Rotasi

Rotasi adalah perputaran benda pada suatu sumbu yang tetap. Rotasi dapat kita lihat contohnya perputaran gasing, perputaran bumi pada porosnya, bahkan matahari pun juga berotasi. Rotasi matahari berlansung selama 27 hari dalam 1 periode. Namun, rotasi kali ini bukan membahas mengenai rotasi pada gasing, bumi, ataupun matahari. Rotasi yang akan dibahas berkaitan dengan geometri transformasi.
Rotasi Bumi

Rotasi dalam kaitan geometri transformasi adalah suatu transformasi yang memasangkan titik ke himpunan titik yang lainya dengan cara memutar. Bayangan hasil rotasi akan kongruen dengan aslinya sehingga Rotasi termasuk transformasi isometri sama seperti Translasi (Perpindahan) dan Refleksi (pencerminan)

[Baca : Geometri Transformasi: Translasi]
[Baca : Geometri Transformasi: Refleksi]

Rotasi pada suatu objek ditentukan oleh beberapa faktor yaitu

  1. Pusat Rotasi, yaitu berupa titik yang digunakan sebagai pusat dari rotasi
  2. Sudut Rotasi, yaitu besar sudut yang digunakan untuk menentukan jauhnya rotasi
  3. Arah Rotasi, dalam hal ini arah rotasi dapat bertanda positif yang maksudnya berlawanan  denganarah jarum jam dan bertanda negatif yang maksudnya adalah serarah dengan jarum jam.


Dalam koodinat kartesius rotasi menurut sumbu atau pusatnya dibedakan menjadi dua yaitu rotasi dengan pusat di O(0, 0) dan rotasi dengan pusat di A(a, b)

Rotasi Dengan Pusat di O(0, 0)

Perhatikan gambar di bawah!
Dari gambar terlihat bahwa titik P dirotasi sejauh $\alpha$ terhadap titik pustat O(0, 0). $\theta$ adalah sudut antara sumbu-x dengan OP. P' adalah bayangan dari P dan r adalah jarak antara pusat dengan titik P dimana OP = OP' = r. Rotasi tersebut dinotasikan dengan
$P(x, y) \xrightarrow[]{R(O, \alpha )} P'(x', y')$

Dari titik P(x, y) dan sudutnya ($\theta$) diperoleh bahwa
x = r cos$\theta$
y = r sin$\theta$

Kemudian dari titik P' dan sudutnya ($\alpha$ + $\theta$) diperoleh
x' = r cos($\alpha$ + $\theta$)
x' = r cos$\alpha$ cos$\theta$ - r sin$\alpha$ sin$\theta$
x' = x cos$\alpha$ - y sin$\alpha$

y' = r sin($\alpha$ + $\theta$)
y' = r sin$\alpha$ cos$\theta$ + r cos$\alpha$ sin$\theta$
y' = x sin$\alpha$ + y cos$\alpha$
Jadi rotasi P(x, y) sebesar $\alpha$ dengan pusat di O(0, 0) akan menghasilkan bayangan P'(x', y') dengan
x' = x cos$\alpha$ - y sin$\alpha$
y' = x sin$\alpha$ + y cos$\alpha$
Matriks yang bersesuaian dengan rotasi tersebut adalah
$\begin{pmatrix}
x'\\ y'

\end{pmatrix}$= $\begin{pmatrix}
cos\alpha &-sin\alpha \\
sin\alpha  & cos\alpha
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\ y

\end{pmatrix}$

Selanjutnya, telah diketahui bahwa terdapat beberapa nilai perbandingan trigonometri terutama pada sinus dan cosinus yang nantinya dapat diselesaikan dengan mudah. Sudut-sudut besar rotasi yang mudah diselesaikan diantaranya -270$^{o}$, -180$^{o}$, -90$^{o}$, 0$^{o}$, 90$^{o}$, 180$^{o}$, dan 270$^{o}$ karena sudut-sudut tersebut akan bernilai -1, 0, 1 (Cobalah cari nilai sinus dan cosinus sudut-sudut tersebut). Sehingga didapat hasil rotasi dengan pusat di O(0, 0) seperti dalam tabel berikut

NoRotasi Bayangan 
1 R(O, -270$^{o}$) (-y, x)
2 R(O, -180$^{o}$) (-x, -y)
3 R(O, -90$^{o}$) (y, -x)
4 R(O, 0$^{o}$) (x, y)
5 R(O, 90$^{o}$) (-y, x)
6 R(O, 180$^{o}$) (-x, -y)
7 R(O, 270$^{o}$) (y, -x)

Untuk lebih jelasnya mengenai rotasi dengan pusat di O(0, 0) perhatikan contoh berikut

Contoh 1
Titik P(2, 10) dirotasi $\frac{\pi}{3}$  dengan pusat putar O(0, 0).
Penyelesaian
P(2, 10) maka x = 2 dan y = 10
sin $\frac{\pi}{3}$ = $\frac{1}{2} \sqrt{3}$
cos $\frac{\pi}{3}$ = $\frac{1}{2} $
x' = x cos$\alpha$ - y sin$\alpha$
x' = 2 cos$\frac{\pi}{3}$ - y sin$\frac{\pi}{3}$
x' = 2 $\times$$\frac{1}{2} $  - 10 $\times$$\frac{1}{2} \sqrt{3}$
x' = 1 - 5$\sqrt{3}$

y' = x sin$\alpha$ + y cos$\alpha$
y' = 2 sin$\frac{\pi}{3}$ + 10 cos$\frac{\pi}{3}$
y' = 2 $\times$$\frac{1}{2}\sqrt{3} $  + 10 $\times$$\frac{1}{2}$
y' = $\sqrt{3} $ + 5
Jadi, bayangan P adalah (1 - 5$\sqrt{3}$, $\sqrt{3} $ + 5)

Contoh 2 
Tentukan bayangan garis x - y + 3 = 0 dirotasi sebesar 90$^{o}$ dengan pusat putar pada O(0, 0)
Penyelesaian
Rotasi 90$^{o}$ dengan pusat putar pada O(0, 0), maka
x' = -y atau y = -x'
y' = x atau x = y'

Sehingga bayangannya
y' - (-x') + 3 = 0
x' + y' + 3 = 0
Jadi, bayangan garis  x - y + 3 = 0 adalah x + y + 3 = 0

Rotasi Dengan Pusat di A(a, b)

Perhatikan gambar berikut
Jika P(x, y) dirotasi sebesar $\alpha$ dengan pusat di A(a, b) dengan bayangan P'(x', y'), maka yang terjadi adalah pergeseran pusat rotasi a untuk absisnya dan b untuk ordinatnya dari titik pusat O(0, 0). Sehingga diperoleh
x - a = r cos$\theta$
y - b = r sin$\theta$

serta
x' - a = r cos($\alpha$ + $\theta$)
x' - a = r cos$\alpha$ cos$\theta$ - r sin$\alpha$ sin$\theta$
x' - a = (x - a) cos$\alpha$ - (y - b) sin$\alpha$
x' = (x - a) cos$\alpha$ - (y - b) sin$\alpha$ + a

y' - b = r sin($\alpha$ + $\theta$)
y' - b = r sin$\alpha$ cos$\theta$ + r cos$\alpha$ sin$\theta$
y' - b = (x - a) sin$\alpha$ + (y - b) cos$\alpha$
y' = (x - a) sin$\alpha$ + (y - b) cos$\alpha$ + b
Jadi rotasi P(x, y) sebesar $\alpha$ dengan pusat di A(a, b) akan menghasilkan bayangan P'(x', y') dengan
x' = (x - a) cos$\alpha$ - (y - b) sin$\alpha$ + a
y' = (x - a) sin$\alpha$ + (y - b) cos$\alpha$ + b

Matriks yang bersesuaian dengan rotasi tersebut adalah
$\begin{pmatrix}
x'\\ y'

\end{pmatrix}$=$ \begin{pmatrix}
cos\alpha &-sin\alpha \\
sin\alpha  & cos\alpha
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x - a\\ y - b

\end{pmatrix}$+$\begin{pmatrix}
a\\ b

\end{pmatrix}$

Agar, lebih memahaminya silahkan simak contoh soal berikut

Contoh 3
Tentukan bayangan P(2, -6) dirotasi 30$^{o}$ dengan pusat rotasi pada titik A(2, 4)!
Penyelesaian
P(2, -6) maka x = 2 dan y = -6
sin 30$^{o}$ = $\frac{1}{2} $
cos 30$^{o}$ = $\frac{1}{2} \sqrt{3}$
A(2, 4) maka a = 2 dan b = 4
x' = (x - a) cos$\alpha$ - (y - b) sin$\alpha$ + a
x' = (2 - 2) cos30$^{o}$ - (-6 - 4) sin30$^{o}$ + 2
x' = 0 - (-10)$\frac{1}{2} $ + 2
x' = 5 + 2
x' = 7

y' = (2 - 2) sin$\alpha$ + (y - b) cos$\alpha$ + b
y' = (2 - 2) sin30$^{o}$ + (-6 - 4) cos30$^{o}$ + 4
y' = 0 + (-10)$\frac{1}{2} \sqrt{3}$ + 4
y' = -5 $\sqrt{3}$ + 4
Jadi, bayangan dari P adalah (7, -5 $\sqrt{3}$ + 4)

Demikianlah tadi mengenai rotasi dengan pusat di O(0, 0) dan A(a, b). Semoga bermanfaat

Pencerminan Terhadap Garis y = mx + c

Telah dijelaskan pada artikel sebelumya menjelaskan mengenai pencerminan terhadap sumbu x, sumbu y, garis y = x, garis y = -x, garis x = h, garis y = k, titik asal (0, 0), dan titik T(p, q).
[Baca : Geometri Transformasi: Refleksi]
Selanjutnya, akan dibahas mengenai pencerminan atau refleksi terhadap garis y = mx + c. Untuk memahami pencerminan atau refleksi terhadap garis y = mx + c maka sebelumnnya anda harus paham mengenai trigonometri dan persamaan garis lurus.
Perbandingan trigonometri seperti sinus (sin), cosinus (cos), dan tangen (tan) serta istilah dalam persamaan garis lurus yaitu gradien (m) akan dilibatkan dalam menentukan bayangan dari pencerminan terhadap garis y = mx + c. Serta tidak lupa, penjumlahan dan perkalian matriks. Jadi sebelum mempelajari pencerminan terhadap garis y = mx + c, sebaiknya anda ingat-ingat kembali materi-materi yang telah disebutkan tadi.

Pencerminan Terhadap Garis y = mx + c dengan m = tan$\alpha$

Nah, sekarang coba perhatikan gambar berikut!
Jika P(x, y) merupakan titik yang dicerminkan terhadap garis y = mx + c sehingga bayanganya adalah P'(x', y') dengan S adalah titik potong garis y = mx + c dengan sumbu x dan Q adalah titik potong antara garis PP' dengan garis  y = mx + c. $\alpha$ ($\angle$ QSR) adalah sudut antara garis y = mx + c dengan sumbu x dan $\theta$ ($\angle$ PSR) adalah sudut antara garis PS dengan sumbu x. Karena P' adalah bayangan dari pencerminan P terhadap garis y = mx + c maka sudut antara SP' ($\angle$ P'SR') dengan sumbu x adalah 2$\alpha$ - $\theta$. Koordinat titik S didapat dari
Karena berpotongan dengan sumbu x, maka y = 0
0 = mx + c
mx = -c
x = $-\frac{c}{m}$
Sehingga, koordinat S adalah ($-\frac{c}{m}$, 0)

Kemudian, kita akan mencari bayangan dari P(x, y) yaitu P'(x', y') dengan memanfaatkan segitiga-segitiga yang terbentuk dari titik pada gambar di atas. Yang perlu dipahami adalah segitiga PSP' adalah segitiga sama kaki dengan panjang SP = SP' (karena sifat pencerminan)
Dari segitiga PSR diperoleh
cos $\theta$ = $\frac{SR}{SP}$
SR = SP cos $\theta$
x + $\frac{c}{m}$ = SP cos $\theta$

sin $\theta$ = $\frac{PR}{SP}$
PR = SP sin $\theta$
y = SP sin $\theta$

Dari dua persamaan di atas juga diperoleh bahwa
Karena SP = SP', maka
x + $\frac{c}{m}$ = SP' cos $\theta$
y = SP' sin $\theta$

Berikutnya, kita akan menggunakan segitiga R'SP', dari segitiga ini diperoleh
cos (2$\alpha$ - $\theta$) = $\frac{SR'}{SP'}$
SR' = SP' cos (2$\alpha$ - $\theta$)
x' + $\frac{c}{m}$ = SP' cos (2$\alpha$ - $\theta$)
x' + $\frac{c}{m}$ = SP' cos 2$\alpha$ cos $\theta$ + SP' sin 2$\alpha$ sin $\theta$
x' + $\frac{c}{m}$ = SP' cos $\theta$ cos 2$\alpha$  + SP' sin $\theta$ sin 2$\alpha$
x' + $\frac{c}{m}$ = (x + $\frac{c}{m}$) cos 2$\alpha$  + y sin 2$\alpha$
x' + $\frac{c}{m}$ = x cos 2$\alpha$ + $\frac{c}{m}$ cos 2$\alpha$  + y sin 2$\alpha$
x' = x cos 2$\alpha$ + $\frac{c}{m}$ cos 2$\alpha$  + y sin 2$\alpha$ - $\frac{c}{m}$
x' = x cos 2$\alpha$ + y sin 2$\alpha$  + $\frac{c}{m}$ (cos 2$\alpha$ - 1)

sin (2$\alpha$ - $\theta$) = $\frac{P'R}{SP'}$
PR' = SP' sin (2$\alpha$ - $\theta$)
y' = SP' sin 2$\alpha$ cos $\theta$ - SP' cos 2$\alpha$ sin $\theta$
y' = SP' cos $\theta$ sin 2$\alpha$  - SP' sin $\theta$ cos 2$\alpha$
y' = (x + $\frac{c}{m}$) sin 2$\alpha$  - y cos 2$\alpha$
y' = x sin 2$\alpha$ + $\frac{c}{m}$ sin 2$\alpha$  - y cos 2$\alpha$

Jadi, diperoleh koordinat dari P'(x', y') dengan
x' = x cos 2$\alpha$ + y sin 2$\alpha$  + $\frac{c}{m}$ (cos 2$\alpha$ - 1)
y' = x sin 2$\alpha$ + $\frac{c}{m}$ sin 2$\alpha$  - y cos 2$\alpha$

Dari nilai x' dan y' di atas, persamaan matriks yang bersesuaian dengan nilai tersebut adalah
$\begin{pmatrix}
x'\\y'

\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}
 cos 2\alpha&sin2\alpha \\
 sin 2\alpha& -cos 2\alpha
\end{pmatrix}$$\begin{pmatrix}
x\\y

\end{pmatrix}$ + $\frac{c}{m}\begin{pmatrix}
 cos 2\alpha - 1\\sin2\alpha

\end{pmatrix}$

Nah, demikianlah tadi pembuktian atau cara menentukan bayangan pencerminan terhadap garis y = mx + c, dengan gradien atau m = tan$\alpha$. Untuk lebih memahaminya perhatikan contoh soal berikut!

Contoh
Tentukan bayangan dari pencerminan titik A(-8, 10) terhadap garis y = xtan15$^{o}$!
Penyelesaian
y = xtan15$^{o}$
m = tan15$^{o}$ = 2 - $\sqrt{3}$
$\alpha $ = 30$^{o}$
c = 0
sin 2$\alpha$ = sin 30 = $\frac{1}{2}$
cos 2$\alpha$ = cos 30 = $\frac{1}{2}\sqrt{3}$
A(-8, 10) maka x = -8 dan y = 10

$\begin{pmatrix}
x'\\y'

\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}
 cos 2\alpha&sin2\alpha \\
 sin 2\alpha& -cos 2\alpha
\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}
x\\y

\end{pmatrix}$  + $\frac{c}{m}\begin{pmatrix}
 cos 2\alpha - 1\\sin2\alpha

\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x'\\y'

\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}
 \frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2} \\
 \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\sqrt{3}
\end{pmatrix} $$\begin{pmatrix}
-8\\10

\end{pmatrix}$ +$ \frac{0}{2 - \sqrt{3}}\begin{pmatrix}
 \frac{1}{2}\sqrt{3} - 1\\sin2\alpha

\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x'\\y'

\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}
-4\sqrt{3}+5\\-4-5\sqrt{3}

\end{pmatrix}$ +$ 0$
$\begin{pmatrix}
x'\\y'

\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}
-4\sqrt{3}+5\\-4-5\sqrt{3}

\end{pmatrix}$
 Jadi, bayangan dari A adalah ($-4\sqrt{3}+5$, $-4-5\sqrt{3}$)


Pencerminan Terhadap Garis y = mx + c

Untuk menentukan bayangan dari pencerminan terhadap garis y = mx + c, kita dapat memanfaatkan koordinat perpotongan garis y = mx + c dengan garis yang terbentuk antara titik yang dicerminkan dengan bayangannya. Karena sifat pencerminan maka kedua garis tersebut saling berpotongan tegak lurus. Coba perhatikan gambar berikut
Perhatikan bahwa jika Q merupakan titik potong garis y = mx + c dengan PP', karena Q merupakan titik tengah dari PP' atau PQ = P'Q maka koordinat Q dapat ditentukan dengan
Q = $(\frac{x + x'}{2}$, $\frac{y + y'}{2})$
Karena Q merupakan titik yang dilalui y = mx + c, maka apabila Q disubstitusikan kedalam persamaan garis y = mx + c akan memenuhi
$\frac{y + y'}{2}$ = m $(\frac{x + x'}{2})$ + c
y + y' = m(x + x') + 2c ........................(1)
Garis y = mx + c tegak lurus dengan garis PP', dimana gradien y = mx + c  adalah m sedangkan gradien PP' adalah $\frac{x - x'}{y - y'}$ maka
m $\times$ $\frac{y - y'}{x - x'}$ = -1
y - y' = $\frac{-1(x - x')}{m}$
y' = y - $\frac{-1(x - x')}{m}$
y' = y - $\frac{x' - x}{m}$  ........................(2)
Substitusi (2) ke (1)
y + y - $\frac{x' - x}{m}$  = m(x + x') + 2c
2y - $\frac{x' - x}{m}$  = m(x + x') + 2c
2my - (x' - x) = m$^{2}$(x + x') + 2mc
2my - x' + x = m$^{2}$x + m$^{2}$x' + 2mc
2my + x - m$^{2}$x - 2mc = m$^{2}$x' + x'
2my - 2mc + x -  m$^{2}$x = (m$^{2}$ + 1)x'
2m(y - c) + x(1 - m$^{2}$) = (m$^{2}$ + 1)x'
x' = $\frac{2m(y - c) + x(1 - m^{2})}{m^{2} + 1}$
atau
x' = $\frac{x(1 - m^{2}) + 2m(y - c)}{m^{2} + 1}$

Kemudian substitusikan x' ke (2)
y' = y - $\frac{\frac{2m(y - c) + x(1 - m^{2})}{m^{2} + 1} - x}{m}$
y' = y - $\frac{\frac{2m(y - c) + x(1 - m^{2}) - x(m^{2} + 1)}{m^{2} + 1}}{m}$
y' = y - $\frac{2m(y - c) + x(1 - m^{2}) - x(m^{2}+ 1)}{m(m^{2} + 1)}$
y' = $\frac{ym(m^{2} + 1) - (2m(y - c) + x(1 - m^{2}) - x(m^{2}+ 1))}{m(m^{2} + 1)}$
y' = $\frac{m(y(m^{2} + 1) - 2(y - c)) - x + m^{2}x + m^{2}x + x}{m(m^{2} + 1)}$
y' = $\frac{m(m^{2}y + y - 2y + 2c) + 2m^{2}x}{m(m^{2} + 1)}$
y' = $\frac{m(m^{2}y - y + 2c + 2mx)}{m(m^{2} + 1)}$
y' = $\frac{m^{2}y - y + 2c + 2mx}{m^{2} + 1}$
y' = $\frac{2mx + y(m^{2} - 1) + 2c }{m^{2} + 1}$
atau
y' = $\frac{2mx - y(1 - m^{2}) + 2c }{m^{2} + 1}$
Jadi, bayangan dari P(x, y) atau koordinat dari P'adalah
(x', y') = $(\frac{x(1 - m^{2}) + 2m(y - c)}{m^{2} + 1}$, $\frac{2mx - y(1 - m^{2}) + 2c }{m^{2} + 1})$

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut
Contoh 2
Tentukan bayangan dari titik B(0, 8) dari pencerminan terhadap y = 2x + 3!
Penyelesaian
B(0, 8) maka x = 0 dan y = 8
y = 2x + 3 maka m = 2 dan c = 3
x' = $\frac{x(1 - m^{2}) + 2m(y - c)}{m^{2} + 1}$
x' = $\frac{0(1 - 2^{2}) + 2(2)(8 - 3)}{2^{2} + 1}$
x' = $\frac{0 + 20}{4 + 1}$
x' = 4

y' = $\frac{2mx + y(m^{2} - 1) + 2c }{m^{2} + 1}$
y' = $\frac{2(2)(0) + 8(2^{2} - 1) + 2(3) }{2^{2} + 1}$
y' = $\frac{0+ 24 + 6 }{4 + 1}$
y' = 6

Jadi, bayangan dari B adalah (4, 6)

Nah, demikianlah tadi mengenai penurunan rumus pencerminan terhadap garis y = mx + c. Semoga bermanfaat.

Geometri Transformasi: Refleksi

Bercermin mungkin menjadi aktifitas harian bagi kita apalagi bagi para wanita. Ketika bercermin yang kita lihat adalah bayangan kita pada cermin yang dapat dipastikan mirip dan tanpa perubahan apapun. Dalam fisika bayangan yang berada dalam cermin tersebut dikatakan "maya". Posisi bagian tubuh pada bayangan umunya terbalik misalnya tangan kanan yang terletak di kiri namun, untuk posisi kepala dan kaki tidak ikut terbalik. Jarak antara bayangan dengan cermin terlihat sama dengan jarak antara tubuh kita dengan cermin.
Geometri transformasi juga mempelajari pencerminan atau dikenal pula dengan refleksi. Refleksi atau pencerminan merupakan salah satu transformasi yang juga tidak merubah ukuran maupun bentuk sama halnya dengan pergeseran atau translasi. Refleksi adalah suatu transformasi dengan memasangkan setiap titik pada bidang yang menggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik tersebut.

[Baca: Geometri Transformasi: Translasi]

Refleksi suatu bangun memiliki sifat-sifat
  • Bangun dengan bayangannya adalah kongruen, sehingga luas dan kelilingnya juga sama
  • Jarak bangun ke cermin sama dengan jarak bayangan ke cermin
  • sudut yang dibentuk oleh cermin dengan garis yang menghubungkan setiap titik ke bayangannya adalah sudut siku-siku.
Nah, dengan menggunakan sifat-sifat di atas kita dapat menentukan bayangan suatu bangun. Untuk lebih jelasnya berikut ini adalah beberapa pencerminan dalam bidang kartesius.

Pencerminan Terhadap Sumbu-x

Pencerminan terhadap sumbu-x yang dimaksudkan adalah bahwa sumbu-x pada bidang kartesius berperan sebagai cermin. Misalkan A(a, b) merupakan satu titik pada bidang kartesius, pencerminan titik A terhadap sumbu-x akan menghasilkan bayangan yaitu A'(a', b') dimana a' = a dan b' = -b. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut.
Dari gambar terlihat jika hanya nilai ordinat yang berubah pada bayangan sedangkan nilai absisnya sama dengan yang asli. Dengan demikian, pencerminan titik A(a, b) terhadap sumbu-x dapat ditulis
$A(a, b) \xrightarrow[]{sumbu-x} A'(a, -b)$
Sedangkan, matriks transformasinya dapat ditulis
$\begin{pmatrix}
a'\\ b'

\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
1 &0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a\\ b

\end{pmatrix}$

Pencerminan Terhadap Sumbu-y

Dalam hal ini, sumbu-y sebagai cermin. Misalkan B(a, b) merupakan suatu titik pada bidang kartesius, pencerminan titik B terhadap sumbu-x akan menghasilkan bayangan B'(a', b') dengan a' = -a dan b' = b. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut
Pencerminan titik B(a, b) terhadap sumbu-y dapat ditulis
$B(a, b) \xrightarrow[]{sumbu-y} B'(-a, b)$
Sedangkan, matriks transformasinya dapat ditulis
$\begin{pmatrix}
a'\\ b'

\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
-1 &0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a\\ b

\end{pmatrix}$

Pencerminan Terhadap Garis y = x

Misalkan titik C(a,b) merupakan suatu titik pada bidang kartesius, pencerminan titik C terhadap garis x = y menghasilkan bayangan C'(a', b') dengan a' = b dan b' = a. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut
Pencerminan titik C(a, b) terhadap garis y = x dapat ditulis
$C(a, b) \xrightarrow[]{y = x} C'(b, a)$
Sedangkan, matriks transformasinya dapat ditulis
$\begin{pmatrix}
a'\\ b'

\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
0 &1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a\\ b

\end{pmatrix}$


Pencerminan Terhadap Garis y = -x

Misalkan titik D(a,b) merupakan suatu titik pada bidang kartesius, pencerminan titik D terhadap garis x = y menghasilkan bayangan D'(a', b') dengan a' = -b dan b' = -a. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut
Pencerminan titik D(a, b) terhadap garis y = -x dapat ditulis
$D(a, b) \xrightarrow[]{y = -x} D'(-b, -a)$
Sedangkan, matriks transformasinya dapat ditulis
$\begin{pmatrix}
a'\\ b'

\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
0 &-1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a\\ b

\end{pmatrix}$

Pencerminan Terhadap Garis x = h

Misalkan titik E(a,b) merupakan suatu titik pada bidang kartesius, pencerminan titik E terhadap garis x = h menghasilkan bayangan E'(a', b') dengan a' = 2h - a dan b' = b. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut
Pencerminan titik E(a, b) terhadap garis x = h dapat ditulis
$E(a, b) \xrightarrow[]{x = h} E'(2h - a, b)$
Sedangkan, matriks transformasinya dapat ditulis
$\begin{pmatrix}
a'\\ b'

\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
-1 &0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a\\ b

\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2h\\ 0

\end{pmatrix}$

Pencerminan Terhadap Garis y = k

Misalkan titik F(a,b) merupakan suatu titik pada bidang kartesius, pencerminan titik F terhadap garis y = k menghasilkan bayangan F'(a', b') dengan a' = a dan b' = 2k - b. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut
Pencerminan titik F(a, b) terhadap garis y = k dapat ditulis
$F(a, b) \xrightarrow[]{y = k} F'(a, 2k - b)$
Sedangkan, matriks transformasinya dapat ditulis
$\begin{pmatrix}
a'\\ b'

\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
1 &0 \\
0 & -1

\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a\\ b

\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
0\\ 2k

\end{pmatrix}$

Pencerminan Terhadap Titik O(0,0)

Pencerminan tidak selalu terhadap garis atau sumbu, pencerminan dapat dilakukan terhadap titik. Misalkan titik G(a,b) merupakan suatu titik pada bidang kartesius, pencerminan titik G terhadap titik O(0, 0) atau titik asal akan menghasilkan bayangan G'(a', b') dengan a' = -a dan b' = -b. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut.
Perhatikan, apabila melalui titik G dan O dibuat suatu garis, bayangan dari G adalah G' dimana panjang GO = G'O dan titik G, O, dan G' adalah titik-titik yang segaris. Pencerminan titik G(a, b) terhadap titik asal O(0,0) dapat ditulis
$G(a, b) \xrightarrow[]{O(0,0)} G'(-a, - b)$
Sedangkan, matriks transformasinya dapat ditulis
$\begin{pmatrix}
a'\\ b'

\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
-1 &0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a\\ b

\end{pmatrix}$

Pencerminan Terhadap Titik T(p, q)

Pencerminan terhadap titik T(p, q) prinsipnya sama seperti pencerminan terhadap titik asal. Misalkan titik H(a,b) merupakan suatu titik pada bidang kartesius, pencerminan titik H terhadap titik T(p, q) atau titik asal akan menghasilkan bayangan H'(a', b') dengan a' = 2p - a dan b' = 2q - b.  Pencerminan titik H(a, b) terhadap titik asal T(p, q) dapat ditulis
$H(a, b) \xrightarrow[]{T(p, q)} H'(2p - a, 2p - b)$
Sedangkan, matriks transformasinya dapat ditulis
$\begin{pmatrix}
a'\\ b'

\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
-1 &0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a\\ b

\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2p\\ 2q

\end{pmatrix}$

Semua pencerminan di atas, dapat dilihat dengan mudah dengan menggunakan tabel berikut. Misalkan (x, y) merupakan titik yang akan dicerminkan maka

NoPencerminan Terhadap Bayangan (x, y) 
1 Sumbu-x (x, -y)
2 Sumbu-y (-x, y)
3 Garis y = x (y, x)
4 Garis y = -x (-y, -x)
5 Garis x = h (2h - x, y)
6 Garis y = k (x, 2k - y)
7 Titik O(0, 0) (-x, -y)
8 Titik T(p, q) (2p - x, 2q - y)

Dengan menggunakan tabel di atas, kita dapat melihat rumus pencerminan dengan mudah dan untuk menyelesaikan soal-soal kita tinggal melihat tabel tersebut. Agar lebih memahami penggunaanya dalam soal, berikut akan disajikan beberapa contoh soal terkait pencerminan atau refleksi.

Contoh 1
Tentukan bayangan titik A(2, 3) yang dicerminkan oleh garis y = -x!
Penyelesaian
A(2, 3) berarti x = 2 dan y = 3
x' = -y = -3
y' = -x = -2
Jadi, bayangan titik A(2, 3) adalah A'(-3, -2)

Contoh 2
Jika bayangan pencerminan terhadap titik P(-2, 1) adalah B'(6, 5). Tentukan titik B!
Penyelesaian
B'(6, 5) berarti x' = 6 dan y' = 5
x' = 2p - x , sehingga x = 2p - x' = 2(-2) - 6 = -10
y' = 2q - y, sehingga y = 2q - y' = 2(1) - 5 = -3
Jadi, titik B adalah (-10, -3)

Contoh 3
Tentukan bayangan dari garis y = 2x - 3 yang dicerminkan terhadap garis x = 3!
Penyelesaian
Pencerminan terhadap garis x = 3
x' = 2h - x, sehingga x = 2h - x' = 2(3) - x' = 6 - x'
y' = y atau y = y'
Substitusi x dan y ke persamaan garis
y' = 2(6 - x') - 3
y' = 12 - 2x' - 3
y' = -2x' + 9
Jadi, bayangan dari garis y = 2x - 3 adalah y = -2x + 9

Contoh 4
Tentukan bayangan lingkaran x$^{2}$ + y$^{2}$ - 2x + 4y - 3 = 0 yang direfleksikan terhadap sumbu-y!
Penyelesaian
Pencerminan terhadap sumbu-y
x' = -x, sehingga x = -x'
y' = y atau y = y'
Substitusi  x dan y ke dalam persamaan lingkaran
(-x')$^{2}$ + y'$^{2}$ - 2(-x') + 4y' - 3 = 0
x'$^{2}$ + y'$^{2}$ + 2x' + 4y' - 3 = 0
Jadi, bayangan lingkaran adalah x$^{2}$ + y$^{2}$ + 2x + 4y - 3 = 0

Sebenarnya, masih ada pencerminan yang belum di bahas yaitu pencerminan terhadap y = mx + c dan y = mx. Mengenai hal itu akan dibahas pada artikel yang lain. Demikianlah bahasan mengenai refleksi atau pencerminan yang meliputi pencerminan terhadap sumbu-x, sumbu-y, garis x = y, garis y = -x, garis x = h, garis y = k, titik asal O(0, 0),  dan terhadap titik T(p, q). Semoga bermanfaat.

Geometri Transformasi: Translasi

Translasi yang akan dibahas dalam artikel ini bukanlah translasi dalam artian penerjemahan suatu bahasa asing. Translasi dalam hal ini merupakan sebuah pergeseran yang merupakan salah satu sub materi Geometri Transformasi. Lebih lanjut, translasi atau pergeseran adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik dari suatu posisi ke posisi yang baru sepanjang ruas garis dan arah tertentu. Suatu objek yang ditranslasikan memiliki sifat tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran namun hanya mengalami perubahan posisi

Misalkan x, y, a, dan b adalah bilangan real, Translasi titik A(x, y) dengan T(a, b) menggeser absis x sejauh a dan menggeser ordinat y sejauh b, sehingga diperoleh titik A'(x + a, y + b), secara notasi ditulis:
$A(x, y) \overset{T\begin{pmatrix}
a\\ b

\end{pmatrix}}{\rightarrow} A'(x+a, y+b)$
atau
$A \begin{pmatrix}
x\\ y

\end{pmatrix} \overset{\begin{pmatrix}
a\\ b

\end{pmatrix} }{\rightarrow} A'\begin{pmatrix}
x+a\\ y+b

\end{pmatrix} $

Untuk lebih jelanya, perhatikan contoh soal berikut
Contoh 1
Diketahui titik A dengan koordinat (2, 3). Tentukan posisi A apabila ditranslasikan oleh $T\begin{pmatrix}
3\\ 4

\end{pmatrix}$!
Penyelesaian
$A(2, 3) \overset{T\begin{pmatrix}
3\\ 4

\end{pmatrix}}{\rightarrow} A'(5, 7)$
Jadi, posisi A setelah ditranslasi adalah (5, 7)

Contoh 2
Translasi $T\begin{pmatrix}
a\\ b

\end{pmatrix}$ memetakan titik A(1, 3) ke A'(4, -1). Tentukanlah nilai a dan b!
Penyelesaian
$A(1, 3) \overset{T\begin{pmatrix}
a\\ b

\end{pmatrix}}{\rightarrow} A'(1+a, 3+b)$
Sehingga, diperoleh
1 + a = 4
a = 3
dan
3 + b = -1
b = -4
Jadi, nilai a = 3 dan b = -4

Selain titik, translasi dapat dilakukan pada sebuah bangun. Untuk menentukan hasil translasi suatu bangun, kita harus mentranslasikan setiap titik sudut dari bangun tersebut.

Contoh 3 
Diketahui segitiga ABC dengan titik sudut A (1, 2), B (3, 4), dan C (5, 7). Tentukan koordinat segitiga ABC jika digeser oleh $T\begin{pmatrix}
-2 \\ 3

\end{pmatrix}$!
Penyelesaian
$A(1, 2) \overset{T\begin{pmatrix}
-2\\ 3

\end{pmatrix}}{\rightarrow} A'(-1, 5)$
$B(3, 4) \overset{T\begin{pmatrix}
-2\\ 3

\end{pmatrix}}{\rightarrow} B'(1, 7)$
$C(5, 7) \overset{T\begin{pmatrix}
-2\\ 3

\end{pmatrix}}{\rightarrow} C'(3, 10)$
Jadi, koordinat segitiga ABC setelah digeser adalah A'(-1, 5), B'(1, 7), dan C'(3, 10)

Apabila titik A(x, y) ditranslasikan dengan $T_{1}$ dilanjutkan dengan translasi $T_{2}$ menghasilkan bayangan A". Hal ini termasuk komposisi transformasi yang merupakan gabungan dari beberapa transformasi. Misalnya kita mempunyai transformasi $T_{1}$ akan dilanjutkan ke $T_{1}$ maka ditulis $T_{2}$ o $T_{1}$

Contoh 4
Tentukan bayang dari titik A(1, 4) yang digeser oleh $T_{1}$(2, 5) dan dilanjutkan lagi oleh $T_{2}$(-1, 3)!
Penyelesaian
$A(1, 4) \overset{T_{1} \begin{pmatrix}
2\\ 5

\end{pmatrix}}{\rightarrow} A'(3, 9)$
$A'(3, 9) \overset{T_{2} \begin{pmatrix}
-1\\ 3

\end{pmatrix}}{\rightarrow} A''(2, 12)$
Jadi, bayangan dari A adalah A''(2, 12)

Dua contoh berikut akan membahas mengenai translasi pada suatu persamaan garis dan persamaan lingkaran.

Contoh 5
Tentukan bayangan garis 3x + 2y - 3 = 0 ditranslasikan oleh T(1, -2)!
Penyelesaian
$(x, y) \overset{T \begin{pmatrix}
1\\ -2

\end{pmatrix}}{\rightarrow} (x', y')$
Sehingga, diperoleh
x' = x + 1 --> x = x' - 1
y' = y + (-2) --> y = y' + 2
Substitusi x dan y ke persamaan awal
3(x' - 1) + 2(y' + 2) - 3 = 0
3x' - 3 + 2y' + 4 - 3 = 0
3x' + 2y' - 2 = 0
Jadi, bayangan garis 3x + 2y - 3 = 0 adalah 3x + 2y - 2 = 0

Contoh 6
Tentukan bayangan llingkaran x$^{2}$ + y$^{2}$ - 4x - 6 = 0 ditranslasikan oleh $T\begin{pmatrix}
2 \\ 1

\end{pmatrix}$!
Penyelesaian
Dari translasi diperoleh
x' = x + 2 --> x = x' - 2
y' = y + 1 --> y = y' - 1
Substitusi x dan y ke persamaan awal
x$^{2}$ + y$^{2}$ - 4x - 6 = 0
(x' - 2)$^{2}$ + (y' - 1)$^{2}$ - 4(x' - 2) - 6 = 0
x'$^{2}$ - 4x + 4 + y'$^{2}$ - 2y' + 1 - 4x' + 8 - 6 = 0
x'$^{2}$ + y'$^{2}$ - 8x' - 2y' + 7 = 0
Jadi, bayangan lingkaran x$^{2}$ + y$^{2}$ - 4x - 6 = 0 adalah x$^{2}$ + y$^{2}$ - 8x - 2y + 7 = 0

Materi Geometri Transformasi lainnya selain Translasi adalah Refleksi, Rotasi dan Dilatasi. Mengenai transformasi lainnya akan dibahas pada artikel lainnya.

Jaring-Jaring Tabung, Kerucut dan Bola

Pada artikel sebelumnya telah dibahas mengenai jaring-jaring bangun ruang sisi datar yang meliputi Kubus, Balok Prima dan Limas. Artikel kali ini dapat dikatakan sebagai lanjutan dari artikel sebelumnya yang membahas mengenai jaring-jaring bangun ruang sisi lengkung yang meliputi Tabung, Kerucut dan Bola.

[Baca: JARING-JARING KUBUS, BALOK, PRISMA, DAN LIMAS]

Jaring-Jaring Tabung

Tabung merupakan bangun ruang yang dibatasi oleh 3 buah bidang sisi yaitu sisi alas, sisi atas, dan sisi lengkung. Sisi alas dan sisi atas dari tabung merupakan daerah yang berbentuk lingkaran yang kongruen. Sedangkan sisi lengkung dari tabung merupakan sisi tegak yang disebut juga dengan selimut tabung. Jaring-jaring tabung terdiri atas sisi alas dan sisi atas serta selimut tabung yang berbentuk persegi panjang.

Jaring-jaring Kerucut

Kerucut adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh dua sisi, yaitu sisi alas dan sisi lengkungnya. Sama halnya dengan tabung sisi alas dari kerucut berbentuk lingkaran sedankan sisi lengkungnya disebut selimut kerucut. Jaring-jaring kerucut terdiri dari sisi alas yang berbentuk lingkaran, serta sisi selimut berupa juring lingkaran dengan jari-jari garis pelukisnya (s) dan panjang busurnya sama dengan panjang keliling alasnya. Salah satu bentuk dari jaring-jaring kerucut dapat digambarkan sebagai berikut.

Jaring-Jaring Bola

Bola merupakan bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah sisi saja dan tidak memiliki rusuk. Bangun bola dalam kehidupan sehari-hari sangat mudah kita temui misalnya bola basket, bola sepak bola, bola tenis meja dan masih banyak lagi. Jaring-jaring bola dapat dibuat berupa irisan-irisan yang menyerupai punggung daging buah jeruk. Untuk membuat jaring-jaring bola perlu dilakukan beberapa langkah yang akan dijelaskan pada artikel lain yang khusus membahas mengenai cara membuat jaring-jaring bola. Salah satu bentuk jaring-jaring bola dapat dilihat pada gambar di bawah ini.

Cara Melukis Garis Tinggi, Bagi, Berat, dan Sumbu pada Segitiga

Segitiga memiliki empat garis istimewa yaitu garis tinggi (altitude), garis berat (median), garis bagi (angle bisector), dan garis sumbu (perpendicular bisector). Untuk melukis garis-garis istimewa segitiga siapkan alat berupa kertas/buku tulis untuk menggambar, pensil atau pulpen, jangka dan penggaris. Berikut ini akan disajikan cara melukis keempat garis istimewa dari segitiga

Melukis Garis Tinggi

Garis Tinggi adalah garis yang ditarik dari suatu titik sudut segitiga dan tegak lurus sisi di depannya. Langkah-langkah melukis garis tinggi adalah

  1. Buat segitiga sebarang misalkan segitiga ABC
  2. Buat sebuah busur dengan titik pusat di titik A sehingga memotong garis BC pada dua titik. Beri nama titik potong tersebut sebagai titik P dan titik Q
  3. Dari titik P dan titik Q tersebut buatlah busur dengan ukuraan lebar jangka yang sama sehingga berpotongan di titik R
  4. Hubungkan titik A dengan titik R sehingga memotong garis BC di titik D. Titik D merupakan garis tinggi 


Melukis Garis Bagi

Garis bagi adalah garis yang ditarik dari suatu titik sudut segitiga yang membagi dua sama besar sudut tersebut. Langkah-langkah melukis garis bagi adalah

  1. Buat segitiga sebarang misalkan segitiga ABC
  2. Dari titik A, buat busur sehingga memotong garis AB dan AC pada titik P dan titikQ
  3. Dari titik P dan titik Q, buat busur dengan ukuran jangka yang sama sehingga berpotongan pada titik R
  4. Hubungkan titik A dengan titik R sehingga garisnya memotong garis BC di titik E. Garis AE merupakan garis bagi


Melukis Garis Berat

Garis berat adalah garis yang ditarik dari titik sudut suatu segitiga yang membagi dua sama panjang sisi di depanya. Langkah-langkah melukis garis berat adalah

  1. Buat segitiga sebarang misalkan segitiga ABC
  2. Dari titik B dan titik C, buat busur dengan ukuran lebar jangka yang sama sehingga busur tersebut berpotongan pada dua titik yaitu titik P dan Q. 
  3. Hubungkan titik P dan titik Q sehingga memotong garis BC di titik F. 
  4. Hubungkan titik A dengan titik F. Garis AF merupakan garis berat


Melukis Garis Sumbu

Garis sumbu adalah garis yang ditarik tegak lurs pada suatu sisi yang membagi dua sama panjang sisi tersebut. Langkah-langkah melukis garis sumbu adalah

  1. Buat segitiga sebarang misalkan segitiga ABC
  2. Dari titik B dan titik C, buat busur dengan ukuran lebar jangka yang sama sehingga busur tersebut berpotongan pada dua titik yaitu titik P dan Q. 
  3. Hubungkan titik P dan titik Q sehingga memotong garis BC di titik G. Garis yang bterbentuk merupakan garis sumbu


Demikianlah cara melukis garis-garis istimewa pada segitiga.

Menentukan Panjang Sabuk Lilitan Minimal Pada Lingkaran

Untuk menentukan panjang sabuk lilitan minimal pada lingkaran, materi yang harus dikuasai adalah materi garis singgung lingkaran serta rumus lingkaran lainnya seperti keliling dan panjang busur lingkaran. Biasanya soal-soal menyangkut panjang sabuk lilitan minimal pada lingkaran ini muncul pada soal ulangan kenaikan kelas atau soal ulangan akhir semester genap SMP kelas 8. Namun, dalam ujian nasional soal ini jarang muncul. Soal-soal seperti ini, biasanya juga muncul pada soal Olimpiade Matematika. Untuk soal Olimpiade, biasanya dibuat dalam bentuk pengembangan soal yang cukup sulit. Untuk itu perlu pemahaman dasar mengenai cara menentukan panjang sabuk lilitan minimal ini.

Panjang Rantai yang Melilit Pada Dua Gear

Pertama akan dibahas mengenai cara menghitung panjang rantai yang melilit dua gear. Contoh nyata yang dapat kita lihat dalam kehidupan sehari-hari adalah pada rantai sepeda maupun sepeda motor. Dalam kasus ini kita akan mencoba menghitung panjang rantai dengan menggunakan konsep garis singgung dan panjang busur lingkaran. Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut

Gambar diatas merupakan bentuk ilustrasi dari rantai yang melilit dua buah gear dengan ukuran yang berbeda, sama seperti yang kita lihat pada sepeda maupun sepeda motor. Untuk menghitung panjang rantai tersebut, kita dapat menghitungnya dengan membagi rantai kedalam beberapa bagian. Nah, sekarang perhatikan gambar berikut.

Untuk menghitung panjang rantai maka kita dapat menjumlahkan
Panjang busur besar PS + PQ + Panjang busur kecil QS + SR.
PQ dan SR merupakan garis singgung persekutuan luar dari dua lingkaran yang berpusat di A dan B. Dengan demikian, sesuai dengan kedudukan kedua lingkaran tersebut maka didapat panjang PQ = SR. Untuk panjang busur besar PS daat ditentukan dengan mengetahui sudut PAS yaitu $\alpha$ beserta jari-jari lingkaran A (R), sedangkan untuk panjang busur kecil QS dapat ditentukan dengan mengetahui sudut pusat yang berhadapan dengan busur kecil QS yaitu $\alpha - 360^{o}$ serta jari-jari B (r). Dengan demikian, jika p adalah panjang rantai maka
p = 2PQ + Panjang Busur Besar PS + Panjang Busur Kecil SR
Dimana
$PQ = AB^{2} - (R - r)^{2}$
Panjang Busur Besar PS = $\frac{\alpha}{360^{o}} 2\pi R$
Panjang Busur Kecil SR = $\frac{360^{o}-\alpha}{360^{o}} 2\pi r$

Untuk lebih memahaminya perhatikan contoh soal berikut

Contoh
Perhatikan gambar berikut!
Diketahui dua buah lingkaran yang berpusat di A dan B dengan jari-jari berturut-turut 22 cm dan 6 cm. Jika jarak kedua pusat lingkaran 65 cm dan besar sudut PAB = 80$^{o}$, hitunglah panjang tali yang melilit kedua lingkaran!
Penyelesaian
PQ = $\sqrt{AB^{2} - (AP - BQ)^{2}}$
PQ = $\sqrt{65^{2} - (22 - 6)^{2}}$
PQ = $\sqrt{4225 - 256}$
PQ = $\sqrt{3969}$
PQ = 63 cm

$\alpha = 360^{o} - 2(80^{o}) = 200^{o}$
Panjang Busur Besar PS = $\frac{200^{o}}{360^{o}} \times 2 \times 3,14 \times 22$
Panjang Busur Besar PS = 76,76 cm

Panjang Busur Kecil SR = $\frac{360^{o}-200^{o}}{360^{o}} \times 2 \times 3,14 \times 6$
Panjang Busur Kecil SR = 16,75 cm

p = 2(63) + 76,76 + 16,75 = 219,51 cm
Jadi, panjang tali yang melilit kedua lingkaran = 219,51 cm

Panjang Sabuk Lilitan Minimal Pada Lingkaran

Pada bagian sebelumny, hanya akan didapatkan masalah-masalah yang melibatkan dua lingkaran saja. Sedangkan kali ini, akan ditemui masalah-masalah yang mungkin akan melibatkan lebih dari dua lingkaran. Untuk menentukan panjang sabuk lilitan minimal pada lingkaran, ada beberapa rumus yang harus dikuasai terlebih dahulu yaitu
Keliling lingkaran (K) = $2 \pi r$ atau
Keliling lingkaran (K) = $\pi d$
Diameter (d) = 2r
Untuk menentukan panjang sabuk lilitan minimal pada lingkaran (p) perhatikan dua kasus berikut
Kasus 1
Perhatikan gambar
Untuk menetukan panjang sabuk yang melilit dua lingkaran di atas dapat ditentukan  dengan
$p = d + d + \frac{1}{2} Keliling Lingkaran + \frac{1}{2} Keliling Lingkaran $
$p = 2d + Keliling Lingkaran $
$p = 2d + \pi d $

Kasus 2
Perhatikan gambar
Tiga lingkaran identik disusun menyerupai bentuk segitiga. Untuk menghitung panjang sabuk yang melilit ketiga lingkaran dapat dilakukan dengan menjumlahkan panjang PQ, RS, TU, panjang busur kecil PU, panjang busur kecil QR, dan panjang busur kecil ST. PQ = RS = TU = d dan dengan menghubungkan pusat-pusat lingkaran maka diperoleh segitiga sama sisi ABC dengan masing-masing sudutnya 60$^{o}$. Sudut PUA dapat ditentukan dengan
$\angle PUA = 360^{o} - 90^{o} - 60^{o} - 90^{o}$
$\angle PUA = 120^{o}$
Karena tiga lingkaran kongruen, maka  $\angle PUA = \angle QBR = \angle TCS = 120^{o}$.
Dengan demikian panjang sabuk dapat ditentukan dengan
$p = 3d + P. Busur kecil PU + P. Busur kecil QR + P. Busur kecil ST$
$p = 3d + \frac{120^{o}}{360^{o}}\pi d +  \frac{120^{o}}{360^{o}}\pi d +  \frac{120^{o}}{360^{o}}\pi d$
$p = 3d + \frac{360^{o}}{360^{o}}\pi d $
$p = 3d + \pi d $

Dengan melakukan hal yang sama pada kasus-kasus lainnya kita dapat menentukan panjang sabuk lilitan. Dari dua kasus di atas diperoleh bahwa setiap tali/sabuk melewati dua lingkaran maka panjangnya sama dengan diameter lingkaran. Panjang sabuk/tali yang mengikuti busur lingkaran jumlahnya sama dengan satu keliling lingkaran (harus dianalisis terlebih dahulu)

Rumus Cepat

Dari cara di atas kita memperoleh rumus cepat untuk menentukan panjang sabuk lilitan minimal yaitu
$p = nd + \pi d$
Dengan
p = panjang sabuk lilitan minimal pada lingkaran
n = banyaknya sabuk yang panjangnya sama dengan diameter
d = diameter lingkaran

Penting!
Perlu diingat bahwa, penggunaan rumus di atas hanya dapat digunakan pada soal-soal yang melibatkan lingkaran-lingkaran yang sama atau memiliki jari-jari yang sama serta telah dapat dipastikan bahwa panjang sabuk/tali yang melewati busur lingkaran jumlahnya sama dengan satu keliling lingkaran

Untuk penggunaan rumus cepat di atas perhatikan contoh soal berikut!

Contoh
Diketahui dua buah lingkaran dengan jari-jari yang sama yaitu 14 cm diikat dengan seutas tali. Tentukan panjang tali minimal yang digunakan untuk mengikat kedua lingkaran!
Penyelesaian
Perhatikan, pada gambar terdapat dua panjang tali yang panjangnya sama dengan diameter. Sehingga n = 2 dan d = 28
$p = 2d + \pi d$
$p = 2(28) + \frac{22}{7} \times 28$
$p = 56 + 88$
$p = 144 cm$
Jadi, panjang tali minimal yang digunakan untuk mengikat kedua lingkaran = 144 cm

Contoh
Tiga buah pipa dengan ukuran yang disusun dan diikat menggunakan sebuah tali, sehingga susunannya menyerupai segitiga. Apabila jari-jari pipa 7 cm, tentukan panjang tali yang digunakan untuk mengikat pipa-pipa tersebut!
Penyelesaian
n = 6
d = 14 cm
$p = 3d + \pi d$
$p = 3(14) + \frac{22}{7} \times 14$
$p = 42 + 44$
$p = 86 cm$
Jadi, panjang tali yang digunakan untuk mengikat pipa-pipa tersebut = 86 cm

Contoh
Lima buah drum disusun sedemikan, sehingga dapat digambarkan seperti gambar di bawah ini!
Apabila, drum-drum tersebut akan diikat dengan menggunakan kawat. Tentukan panjang kawat minimal yang dibutuhkan untuk mengikat drum tersebut, jika diketahui diameter drum 50 cm!
Penyelesaian
Soal di atas tentunya memiliki penyelesaian berbeda dari dua soal sebelumnya. Untuk menentukan panjang kawat, perhatikanlah gambar di bawah
Panjang kawat dapat ditentukan dengan menjumlahkan panjang PQ, panjang RS, dan panjang TU. Panjang TU = 3d sementara panjang PQ = RS = AC = BC. Panjang AC dapat ditentukan dengan menggunakan pythagoras, namun terlebih dahulu kita harus menentukan panjang CD
$CD = \sqrt{d^{2} - r^2}$
$CD = \sqrt{50^{2} - {25}^2}$
$CD = \sqrt{1875}$
$CD = 25\sqrt{3}$

AD = 75 cm
$AC = \sqrt{AD^{2}+CD^{2}}$
$AC = \sqrt{75^{2}+1875}$
$AC = \sqrt{5625+1875}$
$AC = \sqrt{7500}$
$AC = 50\sqrt{3}$

$p = 2AC + TU + \pi d$
$p = 2(50\sqrt{3})+ 3(50) + 3,14 \times 50$
$p = 100\sqrt{3}+ 150 + 157$
$p = (100\sqrt{3}+ 307)$ cm
Jadi, panjang kawat minimal yang dibutuhkan untuk mengikat drum tersebut = $(100\sqrt{3}+ 307)$cm

Demikianlah mengenai cara panjang sabuk lilitan minimal pada lingkaran. Soal-soal di atas hanya membahas mengenai dasar-dasar cara menetukan panjang sabuk lilitan minimal pada lngkaran yang bisa digunakan sebagai dasar pengetahuan didalam menentukan soal-soal dengan tingkat kesulitan yang lebih tinggi seperti soal-soal Olimpiade. Semoga pembahasan di atas dapat bermanfaat.

Pembuktian Rumus Jari-Jari Lingkaran Dalam dan Luar Segitiga serta Lingkaran Singgung Segitiga

Dari sebuah segitiga, kita dapat membuat lingkaran baik itu dalam segitiga maupun luar segitiga. Dimana pada lingkaran dalam segitiga, lingkaran menyinggung ketiga sisi segitiga dari dalam. Sedangkan pada lingkaran luar segitiga, lingkaran menyinggung ketiga titik sudut segitiga. Artikel kali ini, akan membahas mengenai pembuktian rumus jari-jari lingkaran dalam segitiga, jari-jari lingkaran luar segitiga dan jari-jari lingkaran singgung segitiga yang disertai uraian penurunannya atau pembuktiannya.

Rumus Jari-Jari Lingkaran Dalam Segitiga

Perhatikan gambar segitiga di bawah ini!
Segitiga ABC di atas merupakan segitiga sebarang. Titik P, Q, dan R merupakan titik singgung antara segitiga ABC dengan lingkaran yang berpusat di O. OP = OQ = OR = r yang merupakan jari-jari dari lingkaran O. Panjang BC = a, AC = b, dan AB = c. Dari titik A, B, C, dan O terbentuk 3 buah segitiga yaitu segitiga AOB, segitiga AOC, dan segitiga BOC dengan tinggi sama yaitu r. Luas dari masing-masing segitiga tersebut adalah
Luas Segitiga AOB = 1/2 x AB x OR
Luas Segitiga AOC = 1/2 x AC x OQ
Luas Segitiga BOC = 1/2 x BC x OP

Untuk menentukan jari-jari lingkaran dalam segitiga AOB kita dapat menggunakan persamaan bahwa Luas Segitiga ABC sama dengan jumlah Luas Segitiga AOB, Luas Segitiga AOC dan Luas Segiitiga BOC atau dapat ditulis sebagai berikut

Jadi, rumus jari-jari lingkaran dalam suatu segitiga adalah


Dengan s = setengah keliling atau s = ½  (a + b + c) dan L = luas segitiga. Luas segitiga dapat ditentukan dua cara yaitu
L = ½  x Alas x Tinggi

Rumus di atas dapat digunakan apabila alas dan tinggi segitiga dapat ditentukan dengan jelas. Bila tidak, maka luas segitiga juga dapat ditentukan dengan formula Heron yaitu


Dari gambar segitiga ABC di atas, diperoleh juga rumus jarak titik sudut segitiga terhadap titik singgung dengan lingkarannya.

Misalkan panjang AR = AQ = x, BR = BP = y, dan CP =CQ = z. Sehingga
AR + BR = AB atau x + y = c
BP + CP = BC atau y + z = a
AQ + CQ = AC atau x + z = b

Jadi,
x = s – (y + z) = s – a
y = s – (x + z) = s – b
z = s – (x + y) = s – c
atau 
AR = AQ = s – a
BR = BP = s – b
CP = CQ = s – c

Rumus Jari-Jari Lingkaran Luar Segitiga

Lingkaran luar segitiga merupakan lingkaran yang terbentuk melalui ketiga titik sudut suatu segitiga. jika digambarkan maka di dalam lingkaran terdapat sebuah segitiga yang titik-titik sudutnya dilalui oleh lingkaran. Misalkan, terdapat segitiga sebarang ABC dengan panjang sisi-sisi dihadapan sudut A= a, sudut B = b, dan C = c. Lingkaran O merupakan lingkaran yang melalui ketiga titik sudut segitiga ABC, sehingga segitiga ABC berada di dalam lingkaran O. Untuk lebih jelasnya berikut adalah ilustrasinya
Selanjutnya, CD merupakan garis tinggi dari segitiga ABC dan Garis CE merupakan diameter lingkaran (d = 2r). Segitiga ACE sebangun dengan segitiga BCD. Hal ini karena sudut BDC sama dengan sudut CAE = 90o (Sudut CAerupakan sudut keliling yang menghadap diameter), sudut AEC sama dengan sudut CBD karena kedua sudut menghadap busur yang sama, sehingga ACE juga sama dengan sudut BCD. Ini berarti dapat disimpulkan keduanya sebangun. Dari kesebangunan tersebut diperoleh bahwa
Secara umum, karena ½ x CD x AB adalah luas segitiga ABC maka secara umum rumus jari-jari lingkaran luar segitiga adalah 
Dengan a, b, c adalah panjang sisi-sisi dari segitiga dan L adalah luas segitiga yang dapat ditentukan dengan 
L = ½ x alas x tinggi
atau 

Rumus Lingkaran Singgung Segitiga

Lingkaran singgung segitiga sendiri merupakan lingkaran yang menyinggung salah satu sisi suatu segitiga dari luar serta menyinggung perpanjangan dari sisi-sisi yang lain dari segitiga tersebut. Berikut ini saya akan coba menguraikan penurunan rumus jari-jari lingkaran singgung segitiga.

Perhatikan gambar segitiga ABC di bawah
Misalkan dibuat lingkaran yang menyinggung sisi a, maka lingkaran singgung segitiga tersebut dapat digambarkan melalui gambar berikut.
Dari gambar terlihat bahwa, lingkaran singgung berpusat di O dengan menyinggung sisi a serta menyinggung perpanjangan dari sisi b dan c. Jari-jari lingkaran singgung segitiga yang menyinggung sisi a disebut dengan ra . ODAE, ODCF, dan OFBE merupakan layang-layang garis singgung. Panjang EB = FB = p, DC = FC = (a - p), serta panjang OD = OF = OE = ra . Untuk menentukan panjang OA dapat dilakukan dengan dua cara yaitu
OA2 = AD2 + OD2 .......1)
OA2 = AE2 + OE2 ........2)

Dari 1) dan 2) diperoleh

Untuk menentukan luas layang-layang garis singgung ODAE dapat dilakukan dengan dua cara yaitu
Luas ODAE = 2 x L. Segitiga OEA
Luas ODAE = 2 x ½ x OE x EA
Luas ODAE = OE x EA
Luas ODAE = ra x (c + p)
Luas ODAE = ra x (c + s – c)
Luas ODAE = ra x s ....................3)

Luas  ODAE = Luas Segitiga ABC + Luas ODCF + Luas OEBF
Luas  ODAE = Luas Segitiga ABC + 2 x Luas Segitiga ODC + 2 x Luas Segitiga OEB
Luas  ODAE = Luas Segitiga ABC + 2 x ½ x OE x EB + 2 x ½ x OD x DC
Luas  ODAE = Luas Segitiga ABC + OE x EB + OD x DC
Luas  ODAE = Luas Segitiga ABC + ra x p + ra x (a – p)
Luas  ODAE = luas Segitiga ABC + ra x (p + a – p)
Luas  ODAE = Luas Segitiga ABC + ra x a ..................4)

Dari 3) dan 4) diperoleh

Sehingga, secara umum rumus jari-jari lingkaran singgung segitiga yang menyinggung sisi a dapat dinyatakan dengan

Dimana, s merupakan setengah keliling segitiga atau s = ½ (a + b + c) dan L merupakan luas segitiga yang dapat dicari dengan dua cara yaitu setengah dikali panjang alas dikali tinggi (L = ½ x alas x tinggi) atau dengan menggunakan formula Heron yaitu

Dengan cara yang sama pula, kita akan mendapatkan rumus jari-jari lingkaran singgung yang menyinggung sisi b dan sisi c. Sehingga, secara lengkap rumus jari-jari lingkaran segitiga dapat dinyatakan sebagai berikut.


Untuk contoh soal, jari-jari lingkaran dalam dan luar segitiga dapat dilihat pada artikel ini