Cara Melukis Garis Tinggi, Bagi, Berat, dan Sumbu pada Segitiga

Segitiga memiliki empat garis istimewa yaitu garis tinggi (altitude), garis berat (median), garis bagi (angle bisector), dan garis sumbu (perpendicular bisector). Untuk melukis garis-garis istimewa segitiga siapkan alat berupa kertas/buku tulis untuk menggambar, pensil atau pulpen, jangka dan penggaris. Berikut ini akan disajikan cara melukis keempat garis istimewa dari segitiga

Melukis Garis Tinggi

Garis Tinggi adalah garis yang ditarik dari suatu titik sudut segitiga dan tegak lurus sisi di depannya. Langkah-langkah melukis garis tinggi adalah

  1. Buat segitiga sebarang misalkan segitiga ABC
  2. Buat sebuah busur dengan titik pusat di titik A sehingga memotong garis BC pada dua titik. Beri nama titik potong tersebut sebagai titik P dan titik Q
  3. Dari titik P dan titik Q tersebut buatlah busur dengan ukuraan lebar jangka yang sama sehingga berpotongan di titik R
  4. Hubungkan titik A dengan titik R sehingga memotong garis BC di titik D. Titik D merupakan garis tinggi 


Melukis Garis Bagi

Garis bagi adalah garis yang ditarik dari suatu titik sudut segitiga yang membagi dua sama besar sudut tersebut. Langkah-langkah melukis garis bagi adalah

  1. Buat segitiga sebarang misalkan segitiga ABC
  2. Dari titik A, buat busur sehingga memotong garis AB dan AC pada titik P dan titikQ
  3. Dari titik P dan titik Q, buat busur dengan ukuran jangka yang sama sehingga berpotongan pada titik R
  4. Hubungkan titik A dengan titik R sehingga garisnya memotong garis BC di titik E. Garis AE merupakan garis bagi


Melukis Garis Berat

Garis berat adalah garis yang ditarik dari titik sudut suatu segitiga yang membagi dua sama panjang sisi di depanya. Langkah-langkah melukis garis berat adalah

  1. Buat segitiga sebarang misalkan segitiga ABC
  2. Dari titik B dan titik C, buat busur dengan ukuran lebar jangka yang sama sehingga busur tersebut berpotongan pada dua titik yaitu titik P dan Q. 
  3. Hubungkan titik P dan titik Q sehingga memotong garis BC di titik F. 
  4. Hubungkan titik A dengan titik F. Garis AF merupakan garis berat


Melukis Garis Sumbu

Garis sumbu adalah garis yang ditarik tegak lurs pada suatu sisi yang membagi dua sama panjang sisi tersebut. Langkah-langkah melukis garis sumbu adalah

  1. Buat segitiga sebarang misalkan segitiga ABC
  2. Dari titik B dan titik C, buat busur dengan ukuran lebar jangka yang sama sehingga busur tersebut berpotongan pada dua titik yaitu titik P dan Q. 
  3. Hubungkan titik P dan titik Q sehingga memotong garis BC di titik G. Garis yang bterbentuk merupakan garis sumbu


Demikianlah cara melukis garis-garis istimewa pada segitiga.

Menentukan Panjang Sabuk Lilitan Minimal Pada Lingkaran

Untuk menentukan panjang sabuk lilitan minimal pada lingkaran, materi yang harus dikuasai adalah materi garis singgung lingkaran serta rumus lingkaran lainnya seperti keliling dan panjang busur lingkaran. Biasanya soal-soal menyangkut panjang sabuk lilitan minimal pada lingkaran ini muncul pada soal ulangan kenaikan kelas atau soal ulangan akhir semester genap SMP kelas 8. Namun, dalam ujian nasional soal ini jarang muncul. Soal-soal seperti ini, biasanya juga muncul pada soal Olimpiade Matematika. Untuk soal Olimpiade, biasanya dibuat dalam bentuk pengembangan soal yang cukup sulit. Untuk itu perlu pemahaman dasar mengenai cara menentukan panjang sabuk lilitan minimal ini.

Panjang Rantai yang Melilit Pada Dua Gear

Pertama akan dibahas mengenai cara menghitung panjang rantai yang melilit dua gear. Contoh nyata yang dapat kita lihat dalam kehidupan sehari-hari adalah pada rantai sepeda maupun sepeda motor. Dalam kasus ini kita akan mencoba menghitung panjang rantai dengan menggunakan konsep garis singgung dan panjang busur lingkaran. Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut

Gambar diatas merupakan bentuk ilustrasi dari rantai yang melilit dua buah gear dengan ukuran yang berbeda, sama seperti yang kita lihat pada sepeda maupun sepeda motor. Untuk menghitung panjang rantai tersebut, kita dapat menghitungnya dengan membagi rantai kedalam beberapa bagian. Nah, sekarang perhatikan gambar berikut.

Untuk menghitung panjang rantai maka kita dapat menjumlahkan
Panjang busur besar PS + PQ + Panjang busur kecil QS + SR.
PQ dan SR merupakan garis singgung persekutuan luar dari dua lingkaran yang berpusat di A dan B. Dengan demikian, sesuai dengan kedudukan kedua lingkaran tersebut maka didapat panjang PQ = SR. Untuk panjang busur besar PS daat ditentukan dengan mengetahui sudut PAS yaitu $\alpha$ beserta jari-jari lingkaran A (R), sedangkan untuk panjang busur kecil QS dapat ditentukan dengan mengetahui sudut pusat yang berhadapan dengan busur kecil QS yaitu $\alpha - 360^{o}$ serta jari-jari B (r). Dengan demikian, jika p adalah panjang rantai maka
p = 2PQ + Panjang Busur Besar PS + Panjang Busur Kecil SR
Dimana
$PQ = AB^{2} - (R - r)^{2}$
Panjang Busur Besar PS = $\frac{\alpha}{360^{o}} 2\pi R$
Panjang Busur Kecil SR = $\frac{360^{o}-\alpha}{360^{o}} 2\pi r$

Untuk lebih memahaminya perhatikan contoh soal berikut

Contoh
Perhatikan gambar berikut!
Diketahui dua buah lingkaran yang berpusat di A dan B dengan jari-jari berturut-turut 22 cm dan 6 cm. Jika jarak kedua pusat lingkaran 65 cm dan besar sudut PAB = 80$^{o}$, hitunglah panjang tali yang melilit kedua lingkaran!
Penyelesaian
PQ = $\sqrt{AB^{2} - (AP - BQ)^{2}}$
PQ = $\sqrt{65^{2} - (22 - 6)^{2}}$
PQ = $\sqrt{4225 - 256}$
PQ = $\sqrt{3969}$
PQ = 63 cm

$\alpha = 360^{o} - 2(80^{o}) = 200^{o}$
Panjang Busur Besar PS = $\frac{200^{o}}{360^{o}} \times 2 \times 3,14 \times 22$
Panjang Busur Besar PS = 76,76 cm

Panjang Busur Kecil SR = $\frac{360^{o}-200^{o}}{360^{o}} \times 2 \times 3,14 \times 6$
Panjang Busur Kecil SR = 16,75 cm

p = 2(63) + 76,76 + 16,75 = 219,51 cm
Jadi, panjang tali yang melilit kedua lingkaran = 219,51 cm

Panjang Sabuk Lilitan Minimal Pada Lingkaran

Pada bagian sebelumny, hanya akan didapatkan masalah-masalah yang melibatkan dua lingkaran saja. Sedangkan kali ini, akan ditemui masalah-masalah yang mungkin akan melibatkan lebih dari dua lingkaran. Untuk menentukan panjang sabuk lilitan minimal pada lingkaran, ada beberapa rumus yang harus dikuasai terlebih dahulu yaitu
Keliling lingkaran (K) = $2 \pi r$ atau
Keliling lingkaran (K) = $\pi d$
Diameter (d) = 2r
Untuk menentukan panjang sabuk lilitan minimal pada lingkaran (p) perhatikan dua kasus berikut
Kasus 1
Perhatikan gambar
Untuk menetukan panjang sabuk yang melilit dua lingkaran di atas dapat ditentukan  dengan
$p = d + d + \frac{1}{2} Keliling Lingkaran + \frac{1}{2} Keliling Lingkaran $
$p = 2d + Keliling Lingkaran $
$p = 2d + \pi d $

Kasus 2
Perhatikan gambar
Tiga lingkaran identik disusun menyerupai bentuk segitiga. Untuk menghitung panjang sabuk yang melilit ketiga lingkaran dapat dilakukan dengan menjumlahkan panjang PQ, RS, TU, panjang busur kecil PU, panjang busur kecil QR, dan panjang busur kecil ST. PQ = RS = TU = d dan dengan menghubungkan pusat-pusat lingkaran maka diperoleh segitiga sama sisi ABC dengan masing-masing sudutnya 60$^{o}$. Sudut PUA dapat ditentukan dengan
$\angle PUA = 360^{o} - 90^{o} - 60^{o} - 90^{o}$
$\angle PUA = 120^{o}$
Karena tiga lingkaran kongruen, maka  $\angle PUA = \angle QBR = \angle TCS = 120^{o}$.
Dengan demikian panjang sabuk dapat ditentukan dengan
$p = 3d + P. Busur kecil PU + P. Busur kecil QR + P. Busur kecil ST$
$p = 3d + \frac{120^{o}}{360^{o}}\pi d +  \frac{120^{o}}{360^{o}}\pi d +  \frac{120^{o}}{360^{o}}\pi d$
$p = 3d + \frac{360^{o}}{360^{o}}\pi d $
$p = 3d + \pi d $

Dengan melakukan hal yang sama pada kasus-kasus lainnya kita dapat menentukan panjang sabuk lilitan. Dari dua kasus di atas diperoleh bahwa setiap tali/sabuk melewati dua lingkaran maka panjangnya sama dengan diameter lingkaran. Panjang sabuk/tali yang mengikuti busur lingkaran jumlahnya sama dengan satu keliling lingkaran (harus dianalisis terlebih dahulu)

Rumus Cepat

Dari cara di atas kita memperoleh rumus cepat untuk menentukan panjang sabuk lilitan minimal yaitu
$p = nd + \pi d$
Dengan
p = panjang sabuk lilitan minimal pada lingkaran
n = banyaknya sabuk yang panjangnya sama dengan diameter
d = diameter lingkaran

Penting!
Perlu diingat bahwa, penggunaan rumus di atas hanya dapat digunakan pada soal-soal yang melibatkan lingkaran-lingkaran yang sama atau memiliki jari-jari yang sama serta telah dapat dipastikan bahwa panjang sabuk/tali yang melewati busur lingkaran jumlahnya sama dengan satu keliling lingkaran

Untuk penggunaan rumus cepat di atas perhatikan contoh soal berikut!

Contoh
Diketahui dua buah lingkaran dengan jari-jari yang sama yaitu 14 cm diikat dengan seutas tali. Tentukan panjang tali minimal yang digunakan untuk mengikat kedua lingkaran!
Penyelesaian
Perhatikan, pada gambar terdapat dua panjang tali yang panjangnya sama dengan diameter. Sehingga n = 2 dan d = 28
$p = 2d + \pi d$
$p = 2(28) + \frac{22}{7} \times 28$
$p = 56 + 88$
$p = 144 cm$
Jadi, panjang tali minimal yang digunakan untuk mengikat kedua lingkaran = 144 cm

Contoh
Tiga buah pipa dengan ukuran yang disusun dan diikat menggunakan sebuah tali, sehingga susunannya menyerupai segitiga. Apabila jari-jari pipa 7 cm, tentukan panjang tali yang digunakan untuk mengikat pipa-pipa tersebut!
Penyelesaian
n = 6
d = 14 cm
$p = 3d + \pi d$
$p = 3(14) + \frac{22}{7} \times 14$
$p = 42 + 44$
$p = 86 cm$
Jadi, panjang tali yang digunakan untuk mengikat pipa-pipa tersebut = 86 cm

Contoh
Lima buah drum disusun sedemikan, sehingga dapat digambarkan seperti gambar di bawah ini!
Apabila, drum-drum tersebut akan diikat dengan menggunakan kawat. Tentukan panjang kawat minimal yang dibutuhkan untuk mengikat drum tersebut, jika diketahui diameter drum 50 cm!
Penyelesaian
Soal di atas tentunya memiliki penyelesaian berbeda dari dua soal sebelumnya. Untuk menentukan panjang kawat, perhatikanlah gambar di bawah
Panjang kawat dapat ditentukan dengan menjumlahkan panjang PQ, panjang RS, dan panjang TU. Panjang TU = 3d sementara panjang PQ = RS = AC = BC. Panjang AC dapat ditentukan dengan menggunakan pythagoras, namun terlebih dahulu kita harus menentukan panjang CD
$CD = \sqrt{d^{2} - r^2}$
$CD = \sqrt{50^{2} - {25}^2}$
$CD = \sqrt{1875}$
$CD = 25\sqrt{3}$

AD = 75 cm
$AC = \sqrt{AD^{2}+CD^{2}}$
$AC = \sqrt{75^{2}+1875}$
$AC = \sqrt{5625+1875}$
$AC = \sqrt{7500}$
$AC = 50\sqrt{3}$

$p = 2AC + TU + \pi d$
$p = 2(50\sqrt{3})+ 3(50) + 3,14 \times 50$
$p = 100\sqrt{3}+ 150 + 157$
$p = (100\sqrt{3}+ 307)$ cm
Jadi, panjang kawat minimal yang dibutuhkan untuk mengikat drum tersebut = $(100\sqrt{3}+ 307)$cm

Demikianlah mengenai cara panjang sabuk lilitan minimal pada lingkaran. Soal-soal di atas hanya membahas mengenai dasar-dasar cara menetukan panjang sabuk lilitan minimal pada lngkaran yang bisa digunakan sebagai dasar pengetahuan didalam menentukan soal-soal dengan tingkat kesulitan yang lebih tinggi seperti soal-soal Olimpiade. Semoga pembahasan di atas dapat bermanfaat.

Pembuktian Rumus Jari-Jari Lingkaran Dalam dan Luar Segitiga serta Lingkaran Singgung Segitiga

Dari sebuah segitiga, kita dapat membuat lingkaran baik itu dalam segitiga maupun luar segitiga. Dimana pada lingkaran dalam segitiga, lingkaran menyinggung ketiga sisi segitiga dari dalam. Sedangkan pada lingkaran luar segitiga, lingkaran menyinggung ketiga titik sudut segitiga. Artikel kali ini, akan membahas mengenai pembuktian rumus jari-jari lingkaran dalam segitiga, jari-jari lingkaran luar segitiga dan jari-jari lingkaran singgung segitiga yang disertai uraian penurunannya atau pembuktiannya.

Rumus Jari-Jari Lingkaran Dalam Segitiga

Perhatikan gambar segitiga di bawah ini!
Segitiga ABC di atas merupakan segitiga sebarang. Titik P, Q, dan R merupakan titik singgung antara segitiga ABC dengan lingkaran yang berpusat di O. OP = OQ = OR = r yang merupakan jari-jari dari lingkaran O. Panjang BC = a, AC = b, dan AB = c. Dari titik A, B, C, dan O terbentuk 3 buah segitiga yaitu segitiga AOB, segitiga AOC, dan segitiga BOC dengan tinggi sama yaitu r. Luas dari masing-masing segitiga tersebut adalah
Luas Segitiga AOB = 1/2 x AB x OR
Luas Segitiga AOC = 1/2 x AC x OQ
Luas Segitiga BOC = 1/2 x BC x OP

Untuk menentukan jari-jari lingkaran dalam segitiga AOB kita dapat menggunakan persamaan bahwa Luas Segitiga ABC sama dengan jumlah Luas Segitiga AOB, Luas Segitiga AOC dan Luas Segiitiga BOC atau dapat ditulis sebagai berikut

Jadi, rumus jari-jari lingkaran dalam suatu segitiga adalah


Dengan s = setengah keliling atau s = ½  (a + b + c) dan L = luas segitiga. Luas segitiga dapat ditentukan dua cara yaitu
L = ½  x Alas x Tinggi

Rumus di atas dapat digunakan apabila alas dan tinggi segitiga dapat ditentukan dengan jelas. Bila tidak, maka luas segitiga juga dapat ditentukan dengan formula Heron yaitu


Dari gambar segitiga ABC di atas, diperoleh juga rumus jarak titik sudut segitiga terhadap titik singgung dengan lingkarannya.

Misalkan panjang AR = AQ = x, BR = BP = y, dan CP =CQ = z. Sehingga
AR + BR = AB atau x + y = c
BP + CP = BC atau y + z = a
AQ + CQ = AC atau x + z = b

Jadi,
x = s – (y + z) = s – a
y = s – (x + z) = s – b
z = s – (x + y) = s – c
atau 
AR = AQ = s – a
BR = BP = s – b
CP = CQ = s – c

Rumus Jari-Jari Lingkaran Luar Segitiga

Lingkaran luar segitiga merupakan lingkaran yang terbentuk melalui ketiga titik sudut suatu segitiga. jika digambarkan maka di dalam lingkaran terdapat sebuah segitiga yang titik-titik sudutnya dilalui oleh lingkaran. Misalkan, terdapat segitiga sebarang ABC dengan panjang sisi-sisi dihadapan sudut A= a, sudut B = b, dan C = c. Lingkaran O merupakan lingkaran yang melalui ketiga titik sudut segitiga ABC, sehingga segitiga ABC berada di dalam lingkaran O. Untuk lebih jelasnya berikut adalah ilustrasinya
Selanjutnya, CD merupakan garis tinggi dari segitiga ABC dan Garis CE merupakan diameter lingkaran (d = 2r). Segitiga ACE sebangun dengan segitiga BCD. Hal ini karena sudut BDC sama dengan sudut CAE = 90o (Sudut CAerupakan sudut keliling yang menghadap diameter), sudut AEC sama dengan sudut CBD karena kedua sudut menghadap busur yang sama, sehingga ACE juga sama dengan sudut BCD. Ini berarti dapat disimpulkan keduanya sebangun. Dari kesebangunan tersebut diperoleh bahwa
Secara umum, karena ½ x CD x AB adalah luas segitiga ABC maka secara umum rumus jari-jari lingkaran luar segitiga adalah 
Dengan a, b, c adalah panjang sisi-sisi dari segitiga dan L adalah luas segitiga yang dapat ditentukan dengan 
L = ½ x alas x tinggi
atau 

Rumus Lingkaran Singgung Segitiga

Lingkaran singgung segitiga sendiri merupakan lingkaran yang menyinggung salah satu sisi suatu segitiga dari luar serta menyinggung perpanjangan dari sisi-sisi yang lain dari segitiga tersebut. Berikut ini saya akan coba menguraikan penurunan rumus jari-jari lingkaran singgung segitiga.

Perhatikan gambar segitiga ABC di bawah
Misalkan dibuat lingkaran yang menyinggung sisi a, maka lingkaran singgung segitiga tersebut dapat digambarkan melalui gambar berikut.
Dari gambar terlihat bahwa, lingkaran singgung berpusat di O dengan menyinggung sisi a serta menyinggung perpanjangan dari sisi b dan c. Jari-jari lingkaran singgung segitiga yang menyinggung sisi a disebut dengan ra . ODAE, ODCF, dan OFBE merupakan layang-layang garis singgung. Panjang EB = FB = p, DC = FC = (a - p), serta panjang OD = OF = OE = ra . Untuk menentukan panjang OA dapat dilakukan dengan dua cara yaitu
OA2 = AD2 + OD2 .......1)
OA2 = AE2 + OE2 ........2)

Dari 1) dan 2) diperoleh

Untuk menentukan luas layang-layang garis singgung ODAE dapat dilakukan dengan dua cara yaitu
Luas ODAE = 2 x L. Segitiga OEA
Luas ODAE = 2 x ½ x OE x EA
Luas ODAE = OE x EA
Luas ODAE = ra x (c + p)
Luas ODAE = ra x (c + s – c)
Luas ODAE = ra x s ....................3)

Luas  ODAE = Luas Segitiga ABC + Luas ODCF + Luas OEBF
Luas  ODAE = Luas Segitiga ABC + 2 x Luas Segitiga ODC + 2 x Luas Segitiga OEB
Luas  ODAE = Luas Segitiga ABC + 2 x ½ x OE x EB + 2 x ½ x OD x DC
Luas  ODAE = Luas Segitiga ABC + OE x EB + OD x DC
Luas  ODAE = Luas Segitiga ABC + ra x p + ra x (a – p)
Luas  ODAE = luas Segitiga ABC + ra x (p + a – p)
Luas  ODAE = Luas Segitiga ABC + ra x a ..................4)

Dari 3) dan 4) diperoleh

Sehingga, secara umum rumus jari-jari lingkaran singgung segitiga yang menyinggung sisi a dapat dinyatakan dengan

Dimana, s merupakan setengah keliling segitiga atau s = ½ (a + b + c) dan L merupakan luas segitiga yang dapat dicari dengan dua cara yaitu setengah dikali panjang alas dikali tinggi (L = ½ x alas x tinggi) atau dengan menggunakan formula Heron yaitu

Dengan cara yang sama pula, kita akan mendapatkan rumus jari-jari lingkaran singgung yang menyinggung sisi b dan sisi c. Sehingga, secara lengkap rumus jari-jari lingkaran segitiga dapat dinyatakan sebagai berikut.


Untuk contoh soal, jari-jari lingkaran dalam dan luar segitiga dapat dilihat pada artikel ini 

Pengertian dan Contoh Soal Fungsi Invers

Dalam fungsi biasanya untuk menentukan nilai atau petanya maka kita masukan nilai domain ke rumus fungsi dan kemudian kita akan mendapatkan petanya. Hal sebaliknya dapat kita lakukan yaitu dari peta kita akan mendapatkan domainya. Kita dapat melakukanya dengan memasukkan petanya ke fungsi inversnya. Pada bahasan kali ini, akan dibahas mengenai Fungsi Invers baik itu, pengertian, sifat-sifat dan contoh soalnya. Namun, untuk mempermudah memahami materi ini, syaratnya adalah anda harus memahami terlebih dahulu mengenai relasi dan fungsi.

Pengertian Fungsi Invers

Fungsi Invers atau dapat disebut sebagai Fungsi Kebalikan adalah fungsi yang merupakan kebalikan dari aksi fungsi awalnya. Setiap fungsi mempunyai invers, namun setiap invers belum tentu sebuah fungsi. Ini berarti invers dari suatu fungsi dapat berupa relasi atau fungsi. Untuk lebih memahaminya, simaklah penjelasan berikut.

Misalkan terdapat dua fungsi yaitu fungsi f dan g yang digambarkan dalam diagram panah di bawah ini.

Apabila fungsi $g$ dan $f$ dibalik maka akan menghasilkan $R{_{1}}$  dan  $R{_{2}}$. $R{_{1}}$  merupakan  invers  dari  fungsi  $g$ yang bukan fungsi dan termasuk ke dalam relasi. Karena ada anggota B yang tidak memiliki pasangan di A serta terdapat anggota yang memiliki pasangan lebih dari satu, sehingga $R{_{1}}$ bukan fungsi. Sedangkan $R{_{2}}$ merupakan invers dari fungsi $g$ yang termasuk fungsi. Karena setiap anggota B memiliki tepat satu pasangan di A. Dengan demikian $R{_{2}}$ dapat dikatakan sebagai fungsi invers dari $f$ yang biasanya dinotasikan dengan $f^-1$.

Syarat Invers Fungsi Dikatakan Fungsi

Fungsi infers dari $f$ dinyatakan dengan menambahkan "$^{-1}$" pada f atau ditulis $f^{ -1}$. Dari penjelasan sebelumnya, terlihat  bahwa $f^{ -1}$ ada apabila f dalam keadaan berkorespondensi satu-satu atau $f$ adalah fungsi bijektif. Perhatikan diagram fungsi $f$ di bawah

Dari gambar terlihat bahwa fungsi $f$ merupakan fungsi korepondensi satu-satu, sehingga ketika $f$ dibalik maka menghasilkan invers yang merupakan fungsi juga.

Menetukan Fungsi Invers Suatu Fungsi

Untuk menentukan fungsi invers dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan cara berikut ini.

  • Buatlah permisalan f(x) = y pada persamaan.
  • Persamaan tersebut disesuaikan dengan f(x) = y, sehingga ditemukan fungsi dalam y dan nyatakanlah x = f(y).
  • Gantilah y dengan x, sehingga f(y) = f –1(x).
Agar lebih menambah pemahaman anda mengenai fungsi invers, berikut ini  beberapa contoh soal mengenai fungsi invers

Contoh 1
Jika diketahui $f(x) = 3x - 2$, tentukan invers dari $f(x)$
Penyelesaian
$f(x) = 3x - 2$
$y = 3x - 2$
$y + 2 = 3x$
$(x = \frac{y + 2}{3}$
$f(y) = \frac{y + 2}{3}$
$f^{-1} = \frac{x + 2}{3}$
Jadi, $f^{-1} = \frac{x + 2}{3}$

Contoh 2
Diketahui $f : R → R$ dan $g : R → R$ ditentukan oleh $f(x) = 2x – 7$ dan $g(x) = 3x + 2$. Tentukan $(g o f)^{–1}(x)$!
Penyelesaian
Soal, di atas melibatkan fungsi komposisi, yang dapat dipelajari pada link ini
$(gof)(x) = g(f(x))$
$(gof)(x) = g(2x - 7)$
$(gof)(x) = 3(2x - 7) + 2$
$(gof)(x) = 6x - 21 + 2$
$(gof)(x) = 6x - 19$

$(gof)(x) = 6x - 19$
$y = 6x - 19$
$y + 19 = 6x$
$x = \frac{y + 19}{6}$
$f(y) = \frac{y + 19}{6}$
$(gof)^{-1}(x) = \frac{y + 19}{6}$
Jadi, $(gof)^{-1}(x) = \frac{y + 19}{6}$

Contoh 3
Diketahui $h(x) = x^{2} – 2$, tentukan $h^{-1}(x)$!
Penyelesaian
$h(x) = x^{2} – 2$
$y = x^{2} – 2$
$y + 2 = x^{2}$
$x = \sqrt{y + 2}$
$h(y) = \sqrt{y + 2}$
$h^{-1}(x) = \sqrt{y + 2}$
Jadi, $h^{-1}(x) = \sqrt{y + 2}$

Demikaianlah penjelasan singkat mengenai pengertian dan contoh soal fungsi invers. Semoga bermanfaat

Pengertian, Sifat-Sifat, dan Contoh Soal Fungsi Komposisi

Fungsi merupakan relasi khusus yang memasangkan suatu himpunan tepat satu dengan anggota himpunan yang lain. Misalkan terdapat himpunan A dan himpunan B, relasi A ke B disebut fungsi apabila anggota A memiliki pasangan tepat satu di B. Ini berarti A hanya boleh memiliki satu pasangan di B, tetapi aturan tersebut tidak berlaku di B (B boleh memiliki pasangan lebih dari satu di A). Jika diterjemahkan dalam bahasa gaul A tidak boleh jomblo, namun B boleh selingkuh. Selanjutnya dalam fungsi dikenal istilah fungsi komposisi.


Pengertian Fungsi Komposisi

Fungsi Komposisi adalah penggabungan operasi dari dua fungsi secara berurutan sehingga menghasilkan sebuah fungsi yang baru. Operasi fungsi komposisi biasa dilambangkan dengan "o" dan dibaca komposisi/bundaran. Untuk memahami fungsi komposisi, simaklah penjelasan berikut.

Misalkan diketahui A = {a1, a2, a3}, B = {b1, b2, b3, b4}, dan C = {c1, c2, c3}, maka fungsi f : A → B dan g : B → C dapat didefinisikan dalam diagram panah di bawah ini.
Dari kedua diagram di atas, dapat ditentukan fungsi yang memetakan secara langsung dari A ke C. Hal ini dapat digambarkan dalam diagram berikut.
Dari, diagram di atas diperoleh
f(a1) = b2 dan g(b2) = c2 sehingga (g o f) (a1) = c2
f(b2) = b1 dan g(b1) = c1 sehingga (g o f) (a2) = c1
f(b3) = b3dan g(b3) = c3 sehingga (g o f) (a3) = c3

Jika fungsi yang langsung memetakan A ke C tersebut dianggap fungsi tunggal, yang dapat dinyatakan  dalam  sebagai  berikut.
(g o f) (a1) = c2
(g o f) (a2) = c1
(g o f) (a3) = c3

Fungsi tunggal tersebut merupakan fungsi komposisi dan dilambangkan dengan g o f dibaca "fungsi g bundaran f". Fungsi g o f adalah fungsi komposisi dengan f yang dikerjakan terlebih dahulu kemudian dilanjutkan dengan g. Sedangkan, untuk f  o g "dibaca fungsi f bundaran g". Jadi, f o g adalah fungsi komposisi dengan g dikerjakan terlebih dahulu daripada f. Fungsi komposisi yang melibatkan fungsi f dan g dapat ditulis:

(g o f)(x) = g(f(x))
(f o g)(x) = f(g(x))

Sifat-Sifat Fungsi Komposisi

Dalam fungsi komposisi berlaku sifat-sifat sebagai berikut
a. Dalam funsi komposisi tidak berlaku sifat komutatif, yaitu f o g ≠ g o f;
b. Jika I fungsi identitas maka berlaku : I o f = f o I = f;
c. Dalam fungsi komposisi berlaku sifat asosiatif, yaitu : f o (g o h) = (f o g) o h.

Untuk lebih memahami tentang fungsi komposisi, pelajarilah contoh soal berikut ini.

Contoh 1
Diketahui dua buah fungsi yang dinyatakan dengan rumus f(x) = 3x – 1 dan g(x) = x + 4. Tentukanlah nilai dari fungsi-fungsi komposisi berikut.
a. (f o g)(x)
b. (g o f)(–2)

Penyelesaian
a. (f o g)(x) = f(g(x))
                   = f(x + 4)
                   = 3(x + 4) - 1
                   = 3x + 12 - 1
                   = 3x + 11
Jadi, (f o g)(x) = 3x + 11

Untuk jawaban bagian b, langkah pertama yang dilakukan adalah dengan menentukan fungsi komposisi (g o f)(x)
b. (g o f)(x) = g(f(x))
                    = g(3x - 1)
                    = (3x - 1) + 4
                    = 3x + 3
Jadi, nilai (g o f)(–2) adalah
(g o f)(–2) = 3(-2) + 3 = -6 + 3 = -3

Fungsi Komposisi yang Melibatkan Tiga Fungsi

Untuk menyelesaiakan fungsi komposisi yang melibatkan tiga fungsi, dapat dilakukan secara bertahap. Contoh berikut mungkin dapat membantu anda dalam memahami fungsi komposisi tersebut.

Contoh 2
Diketahui f(x) = x2, g(x) = x - 1, dan h(x) = 3x. Tentukan (f o (g o h))(x)!
Penyelesaian
Untuk menyelesaiakan soal ini, dapat dilakukan dengan bertahap.
(g o h)(x) = g(h(x))
                = g(3x)
                = 3x - 1
(g o h)(x) = 3x - 1

(f o (g o h))(x) = f(g(h(x)))
                        = f(3x - 1)
                        = (3x - 1)2
                        = 9x2 - 6x + 1
Jadi, (f o (g o h))(x) = 9x2 - 6x + 1

Menentukan Fungsi Awal, Jika Diketahui Fungsi Komposisinya

Dua contoh berikut, akan membahas mengenai bagaimana cara menyelesaiakan soal yang fungsi komposisinya diketahui dan salah satu fungsi awalnya tidak diketahui (ditanya). Berikut ini merupakan contoh soalnya.

Contoh 3
Jika diketahui, (f o g)(x) = 6x + 3 dan f(x) = 2x - 3. Tentukanlah g(x)!
Penyelesaian
(f o g)(x) = 6x + 3
f(g(x)) = 6x + 3
2g(x) - 3 = 6x + 3
2g(x) = 6x + 6
g(x) = 3x + 3
Jadi, g(x) = 3x + 3

Contoh 4
Jika diketahui, (f o g)(x) = 2x + 6 dan g(x) = x + 1. Tentukanlah f(x)!
Penyelesaian
(f o g)(x) = 2x + 6
f(g(x)) = 2x + 6
f(x + 1) = 2x + 2 + 4
f(x + 1) = 2(x + 1) + 4
Sehingga,
f(x) = 2x + 4
Jadi, f(x) = 2x + 4

Fungsi Komposisi yang Melibatkan Fungsi dalam Himpunan Pasangan Berurutan

Jika biasanya fungsi yang digunakan dalam bentuk rumus fungsi, dalam contoh berikut akan disajiakan  fungsi komposisi  melibatkan fungsi yang dinyatakan dalam himpunan pasangan berurutan.

Contoh 5
Diketahui fungsi p dan q yang ditulis dalan himpunan pasangan berurutan sebagai berikut.
p = {(2, 4), (3, 6), (4, 4), (5, 2), (6, 3)}
q = {(2, 5), (3, 2), (4, 2), (5, 3), (6, 4)}
Tentukan
a. (p o q)
b. (p o q)(3)
c. (q o p)(1)
Penyelesaian
Untuk menyelesaikan soal a, ingat bahwa (p o q) artinya q dikerjakan terlebih dahulu kemudian p. Misalkan, anggota q yaitu (2, 5) ini berarti peta dari 2 adalah 5, kemudian 5 dipetakan lagi dalam p yaitu 2. Sehingga diperoleh pasangan baru dari fungsi komposisi tersebut yaitu (2, 2). Cara yang sama berlaku juga untuk yang lainya
a. (p o q) = {(2, 2), (3, 4), (4, 4), (5, 6), (6, 4)}
b. (p o q)(3) = 4
c. (q o p)(1) = tak terdefinisi

Cara Menghilangkan Tanda Silang Pada Baterai Laptop

Ketika sedang asik menggunakan laptop dan anda terusik dengan sesuatu yang aneh pada icon baterai laptop anda. Biasanya terlihat tanda silang merah pada icon tersebut. Walaupun tidak mengganggu kerja anda dalam menggunakan laptop. Tanda silang tersebut tetap saja tidak enak dilihat dan anda ingin memperbaikinya.

Jika, kita klik pada ikon baterai tersebut maka akan ada tulisan (Consider replacing your battery). yang artinya kurang lebih anda diminta untuk mengganti baterai laptop anda. Ternyata ada penyebab baterai laptop seperti itu dan ada pula cara memperbaikinya.

Penyebab Munculnya Tanda Silang

Tanda silang tersebut sebenarnya berfungsi untuk memberitahukan pemiliknya bahwa baterai laptopnya sudah tidak berfungsi dengan normal alias soak, aus atau apalah bahasanya. Cepat atau lambat setiap laptop pasti akan mengalami masalah yang sama yaitu munculnya tanda silang merah pada ikon baterai, terutama pengguna sistem operasi Windows 7. Aus-nya baterai ini bisa disebabkan oleh karena memang sudah usia pakainya lama, penggunaan yang kurang tepat atau hal lainnya.

Sebenarnya fitur ini semestinya menjadi fitur andalan Windows 7 yang tidak ada pada Windows versi sebelumnya (XP danVista) dan niat awalnya sebagai notifikasi bahwa baterai sudah waktunya diganti dengan yang baru. Namun, banyak penggunanya merasa terganggu oleh notifikasi ini. Walaupun ada notifikasi agar mengganti baterai sebenarnya kapasitas baterai laptop tersebut masih mumpuni untuk digunakan. Batas atas baterai pada Windows 7 adalah 40%. Sebagian ada yang memperdebatkan bahwa batas (threshold) 40% ini dinilai terlalu besar. Hal ini mengingat pada kapasitas 30%-an dari kapasitas ideal pun baterai laptop umumnya masih sanggup bertahan sekitar 1 jam dan itu masih cukup lama. Selain itu harga baterai laptop yang lumayan mahal, jadi banyak pengguna enggan mengganti baterai laptopnya kecuali kalau sudah benar-benar sudah tidak dapat dipergunakan lagi.

Cara Memperbaiki

1. Cara Aneh Namun Berhasil
Sebenarnya saya sendiri pernah mengalami hal tersebut. Kemudian saya mencari solusi untuk mengatasinya di internet. Kemudian, saya menemukan cara ini, yang bisa dibilang aneh dan sangat mudah. Saya sebut aneh karena cara ini sangat sederhana namun berhasil pada laptop saya. Baiklah, jika anda sudah tidak sabar lagi, beginilah caranya: Charge laptop anda hingga penuh. Jika sudah penuh cabut charger dari laptop anda, gunakan laptop seperti biasa hingga baterainya habis dan laptop anda mati sendiri. Kemudian coba hidupkan kembali, untuk memastikan baterai anda benar-benar habis. Jika sudah tidak bisa dihidupkan lagi, charge kembali laptop anda dan hidupkan seperti biasa. Dengan cara ini, saya berhasil menghilangkan tanda silang pada ikon baterai laptop saya.

2. Cara Kalibrasi
Saya kurang mengerti dengan nama Kalibrasi, namun ini yang banyak dibagikan oleh pengguna internet. Mungkin cara ini berhasil pada laptop mereka, saya sendiri belum mencobanya. Caranya hampir sama seperti cara yang pertama, charge full baterai laptop anda. Cabut charger apabila baterai sudah penuh. Nyalakan laptop dan tekan F8 berulang-ulang. Hingga muncul menu Advanced Boot Options, pilih Safe Mode. Biarkan saja laptop hidup sampai mati sendiri karena baterainya benar-benar habis. Sangat disarankan untuk tidak mengoperasikan laptop Anda selama proses ini. Biarkan saja sampai laptop mati sendiri. Apabila telah mati sendiri, pasang kembali charger laptop Anda, lalu nyalakan kembali laptop Anda dengan normal.

Dua cara berikutnya adalah cara yang lebih formal, karena dilakukan dengan update software. Saya sendiri juga belum pernah mencobanya karena sudah dapat saya atasi dengan cara di atas. Namun, cara ini dapat dicoba apabila cara di atas tidak menyelesaikan masalah anda.

3. Coba Update Windows 7 Laptop Anda
Update bukan hanya untuk mendapatkan fitur-fitur terbaru, namun update perlu dilakukan untuk memperbaiki bug pada sistem operasi laptop anda. Jika update telah dilakukan maka, notifikasi pada ikon baterai tersebut juga ikut dibenahi. Namun, pastikan terlebih dahulu anda telah menggunakan Windows asli. Jika tidak maka lisence Windows akan diblacklist

4. Coba Install Serice Pack 1 (SP1)
SP1 merupakan update windows 7. Dalam update ini telah tersedia fitur  mematikan notifikasi pergantian baterai ini. Jika SP1 telah terinstal pada laptop anda, anda tinggal klik saja ikon baterai. Kemudian hilangkan centang “Warn me if my battery may need replacement”. Setelah anda mematikan fitur tersebut, maka tanda silang merah akan hilang dan tidak mengganggu anda lagi. Saya sendiri belum mencoba cara ini, namun jika anda berniat mencoba silahkan saja, Untuk SP1 anda bisa cari di google saja hehehe...

Penting

Meskipun tanda notifikasi silang merah telah hilang, bukan berarti baterai laptop anda telah Normal. Dari awal baterai laptop anda telah drop, aus, soak atau apalah namanya. Cara di atas hanya menghilangkan notifikasinya bukan memperbaiki baterai laptop anda. Selamat mencoba!

Kenapa Pi (π) Nilainya 22/7 atau 3,14?

Jika kita mencari suatu luas bangun datar misalkan persegi dan persegi panjang, maka kita tinggal mengalikan sisi-sisinya atau panjang dan lebarnya. Jika ingin mencari luas segitiga dan jajar genjang kita tinggal mengalikan unsur alas dan tingginya. Begitu juga dengan bangun datar yang lain, kita tinggal mengalikan unsur-unsur yang diketahui dari bangun tersebut. Namun, dalam mencari luas dan keliling suatu lingkaran, selain menggunakan unsur-unsur yang diketahui kita juga menggunakan sebuah konstanta yaitu π (pi).  π adalah sebuah konstanta dalam matematika yang merupakan perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya. Nilai π yang sering digunakan adalah 3,14 atau 22/7. Pertanyaan sekarang timbul dari manakah nilai pi tersebut?

Banyak literatur menyebutkan jika pi adalah bilangan irasional. Nah sekarang, muncul lagi pertanyaan lainnya. Jika pi merupakan bilangan irrasional mengapa nilai pi dinyatakan dalam bentuk pecahan biasa yaitu 22/7?  Tentunya dua pertanyaan tadi sangat menarik untuk dibahas. Untuk itu, dalam artikel ini saya akan mencoba membahas mengenai hal tersebut dan beberapa fakta mengenai π.

Sejarah Singkat Pi

Temuan paling kuno dari pi ditemukan di Mesir dan Babilonia.  Sebuah lempeng liat (tablet) dari Babilonia tahun 1900-1600 SM memuat penyataan mengenai geometri yang mengasumsikan pi sebagai 25/8 = 3,1250. Naskah kuno yang berisi catatan matematika dari Mesir atau dikenal sebagai Papirus Rhind (1650 SM)  memiliki rumus luas lingkaran yang mengasumsikan nilai pi sebagai (16⁄9)2 ≈ 3,1605π. Di India sekitar tahun 600 SM, catatan Sutra Shulba dalam bahasa Sanskerta memuat nilai pi sebesar (9785⁄5568)2 ≈ 3,088.  Pada tahun 150 SM, sumber-sumber catatan dari India memperlakukan pi sama dengan akar 10 ≈ 3,1622. Pada zaman Cina kuno, nilai pi adalah 3,1547 (sekitar tahun 1 Masehi)

Selama puluhan ribu tahun, matematikawan dunia telah berusaha untuk memperluas pemahaman akan bilangan pi ini. Hal ini kadang-kadang dilakukan dengan menghitung nilai bilangan pi hingga presisi yang sangat tinggi. Sebelum abad ke-15, para matematikawan seperti Archimedes dan Liu Hui menggunakan teknik-teknik geometris yang didasarkan pada poligon untuk memperkirakan nilai pi. Archimedes membuktikan bahwa pi memiliki batas 223⁄71 < π < 22⁄7 (3,1408 < π < 3,1429). Batas atas Archimedes sekitar 22⁄7 membuat banyak orang percaya bahwa π sama dengan 22⁄7. Mulai abad ke-15, algoritma baru yang didasarkan pada deret tak terhingga merevolusi perhitungan nilai π. Cara ini digunakan oleh berbagai matematikawan seperti Madhava dari Sangamagrama, Isaac Newton, Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss, dan Srinivasa Ramanujan.

Pada abad ke-20 dan ke-21, para matematikawan dan ilmuan komputer menemukan pendekatan baru yang apabila digabungkan dengan daya komputasi komputer yang tinggi (super komputer), mampu memperpanjang perhitungan desimal pi sampai dengan lebih 10 triliun (1013) digit. Penerapan bilangan pi dalam bidang sains pada umumnya tidak memerlukan lebih dari 40 digit desimal pi, sehingga motivasi utama dari komputasi ini didasarkan pada keingintahuan para ilmuawan terhadap pi itu sendiri. Perhitungan dengan cara seperti ini juga digunakan untuk menguji kemampuan super komputer dan algoritma perkalian dengan presisi tinggi.

Penggunaan Huruf π Untuk Menyatakan Pi

Huruf Yunani π paling awal diketahui digunakan untuk mewakili pi yaitu istilah untuk perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya oleh matematikawan William Jones dalam karya tahun 1706 "Synopsis Palmariorum Matheseos; or, a New Introduction to the Mathematics". Huruf Yunani ini pertama kali muncul dalam frasa "1/2 Periphery π" (1/2 keliling π) dalam mendiskusikan suatu lingkaran berjari-jari satu. Sebuah alasan kuat Jones mungkin memilih simbol π ini karena π adalah huruf pertama dari kata "keliling" dalam bahasa Yunani. Namun ia menulis bahwa persamaan untuk π tersebut berasal dari John Machin. Simbol ini sebenarnya pernah digunakan lebih awal sebagai konsep geometri. William Oughtred menggunakan π dan δ, huruf Yunani yang setara dengan p dan d, untuk mengekspresikan rasio keliling dengan diameter pada tahun 1647.

Setelah Jones memperkenalkan penggunaan huruf Yunani π ini pada tahun 1706, simbol ini tidak begitu populer digunakan secara luas oleh matematikawan lain. Sampai dengan Euler yang mulai menggunakannya pada karya tahun 1736-nya yang berjudul "Mechanica". Sebelum dipopulerkan oleh Euler, para matematikawan kadang-kadang menggunakan simbol c atau p. Berkat Euler yang memiliki banyak koneksi dengan matematikawan-matematikawan lainnya di Eropa, penggunaan huruf π meluas dan menjadi populer dengan cepat. Pada tahun 1748, Euler menggunakan simbol π dalam karyanya yang berjudul "Introductio in analysin infinitorum". Hal ini kemudian, menjadikan penggunaan π universal di Barat.

Pi Merupakan Bilangan Irrasional

π adalah bilangan irasional, yang berarti bahwa ia tidak dapat ditulis sebagai perbandingan dua bilangan bulat. Karena π irasional, maka ia memiliki digit bilangan desimal yang tak terhingga banyaknya. Terdapat beberapa bukti bahwa π irasional.

Ilmuwan Swiss Johann Heinrich Lambert pada tahun 1761 membuktikan bahwa π adalah irasional, yang berarti ia bukanlah hasil dari pembagian dua bilangan bulat manapun. Pembuktian Lambert menggunakan representasi pecahan kontinu dari fungsi tangen. Matematikawan Perancis Adrien-Marie Legendre pada tahun 1794 membuktikan bahwa π2  jugalah irasional. Pada tahun 1882, matematikawan Jerman Ferdinand von Lindemann membuktikan bahwa π adalah transendental, yang kemudian berhasil mengonfirmasi konjektur yang dibuat oleh Legendre dan Euler.

Nilai π  dalam 20 tempat desimal adalah 3,14159265358979323846. Namun hingga kini, sejauh mana bilangan π dapat didekati menggunakan bilangan rasional tidaklah diketahui.

Jika Pi Irasional, Kenapa Nilainya 22/7 atau 3.14?

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya bahwa pi merupakan bilangan irasional. Dengan demikian pi tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan biasa. Hingga saat ini nilai pi yang pasti belum ditemukan. Nilai pi berupa pecahan desimal yang memiliki digit tak hingga dan tidak berpola atau berulang. Penggunaan 22/7 sebagai nilai pi, karena 22/7 mendekati nilai pi itu sendiri. Alasan lain yang mungkin adalah karena 22/7 merupakan batas atas dari nilai pi berdasarkan penemuan Archimedes. Penggunaan 22/7 ini sempat populer digunakan selama 1000 tahun sejak ditemukan. Sedangkan, penggunaan nilai 3,14 berdasarkan pembulatan dari nilai pi.

Penggunaan nilai pi = 22/7 umumnya digunakan untuk menghitung luas lingkaran atau keliling lingkarang yang memiliki jari-jari atau diameter kelipatan 7. Hal ini, tentunya dimaksudkan untuk mempermudah perhitungannya. Jika bukan kelipatan 7, maka nilai pi yang digunakan adalah 3,14 dalam perhitungan.

Jadi, sebenarnya pi adalah irasional penggunaan bilangan rasional 22/7 atau 3,14 dimaksudkan untuk mempermudah dalam melakukan perhitungan.

Adanya Hari Pi (Pi Day)

Popularitas penggunaan pendekatan nilai pi yaitu 22/7 dan 3,14 berlanjut hingga adanya peringatan hari Pi. Peringatan hari pi bukan jatuh berdasarkan oleh hari ditemukannya namun peringatanya didasarkan pada nilai pendekatanya itu sendiri yaitu 22/7 dan 3,14. Pi sendiri dirayakan dua kali setahun. Perayaan pertama dikenal sebagai Pi Day, yang jatuh pada bulan Maret tanggal 14. Hal ini berdasarkan nilai pi yaitu 3,14159265358979323846..... Tanggal tersebut diambil dari nilai pembulatanya yaitu 3,14 dengan rincian 14 sebagai tanggal dan 3 sebagai bulannya yaitu bulan Maret. Perayaan kedua dikenal sebagai Pi Approximation Day, yang jatuh setiap tanggal 22 bulan Juli atau ditulis 22/7.  Pecahan 22/7 adalah pendekatan pi dalam bentuk pecahan yang paling sederhana.

Demikianlah mengenai ulasan dan fakta-fakta yang ada pada pi, semoga bermanfaat.

Sumber: wikipedia

Latihan Soal Ulangan Kenaikan Kelas SMP Kelas 8

Ujian Nasional untuk tingkat SMP beberapa hari lalu telah usai dilaksanakan, kini saatnya kelas 8 dan 7 menyiapkan diri untuk menghadapi ulangan kenaikan kelas (UKK) tahun pelajaran 2015/2016. Berikut ini saya telah menyiapkan latihan soal, khusunya mata pelajaran Matematika kelas 8 untuk kurikulum 2013 (K13). Soal saya buat dalam format pdf, yang terdiri atas 20 soal pilihan ganda. Adapun cakupan materi dari soal-soal tersebut telah sesuai dengan materi semester genap kelas 8 untuk kurikulum 2013. Untuk sekedar diketahui materi semester genap pada kurikulum 2013 terdiri dari 6 bab, yaitu
  1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
  2. Persamaan Kuadrat
  3. Lingkaran
  4. Bangun Ruang Sisi Datar
  5. Perbandingan
  6. Peluang

Latihan soal dapat diunduh di sini

4 Soal Matematika Paling Sulit yang Tidak Bisa Dijawab Alhli Matematika Apalagi Para Jomblo

Ada-ada saja memang kreatifitas para netizen dalam membuat hal-hal yang dapat kita tertawa. tidak hanya lewat status, video, maupun gambar dalam bentuk meme. Setelah kemarin saya memposting mengenai meme matematika (Baca: 24 Meme Lucu Tentang Matematika), kali ini saya memperoleh dalam bentuk soal. Soal-soal ini mungkin tidak ada yang bisa menjawab oleh seorang ahli Matematika sekali pun. Namun, soal-soal ini lebih cocok diberikan kepada orang-orang yang belum memiliki pasangan alias "jomblo" maupun orang-orang yang lagi susah "move on" dari mantan.

Soal-soal ini saya kutip dari Fan Page Sambal Bu Sandra, berikut adalah 5 soal Matematika paling sulit di jawab para jomlo bahkan ahli matematika pun mungkin tidak bisa menjawabnya

1. Soal Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Adi memiliki 6 buah nanas dan 3 buah pisang sedangkan Tono memiliki 5 buah jeruk dan dua buah pepaya. Sekarang sebutkan apa yg dia miliki sehingga kamu lebih memilih dia daripada aku?

2. Aljabar 

Andi berumur 24 tahun, sudah menjomblo 4 tahun. Jika umur ayahnya 65 tahun, hitung berapa tekanan batin yang diterima Andi?

3. Pecahan

Berapakah jumlah serpihan hati yang pecah melihat mantan yang sudah punya pacar lagi?

4. Sudut

Berapa sudut yang diperlukan untuk menikung pacar gebetan yang berdiri sejauh 100 meter dari Adi?

Soal-soal tersebut bukan bermaksud menghina atau membuly anda yang hingga sekarang belum  mendapatkan jodoh. jadikanlah hal-hal seperti ini sebagai motivasi untuk mendapatkan pasangan. Semoga berhasil dan bisa tertawa.

Memahami Konsep Jarak Antara Titik, Garis, dan Bidang

Proyeksi suatu titik terhadap garis adalah berupa suatu titik yang terletak pada garis tersebut dimana terbentuk dari titik yang semula ditarik tegak lurus dari titik tersebut. Konsep proyeksi ini sangat penting terutama saat kita sedang mempelajari sub materi jarak pada geometri. Selain itu, agar mudah nantinya dalam memahami dan memecahkan masalah jarak kita harus mempelajari konsep dasar jarak.

Jarak antara dua unsur ruang adalah panjang ruas garis terpendek yang menghubungkan kedua unsur tersebut. Secara lebih khusus jarak antara dua unsur dalam ruang dapat dibedakan menjadi  6 yaitu

Jarak Antara Dua Titik

Jarak antara dua titik adalah panjang ruas garis yang ditarik dari titik yang satu hingga ke titik yang lain. Misalkan,  jarak antara titik A dan titik B adalah sama dengan panjang ruas AB.

Jarak Antara Titik dan Garis

Jarak antara titik dan garis adalah panjang ruas garis antara titik tersebut dengan satu titik pada garis yang merupakan proyeksi titik pada garis. Jadi, misalkan terdapat titik A dan garis g maka jarak antara titik A dan garis g adalah panjang ruas garis AA’ dimana A’ merpakan proyeksi titik A pada garis g.

Jarak antara Titik dan Bidang

Jarak antara titik dan bidang adalah panjang ruas garis antara titik tersebut dengan satu titik pada bidang yang merupakan proyeksi titik pada bidang. Misalkan terdapat titik A dan bidang a, maka jarak antara titik A dan bidang a sama dengan panjang ruas garis AA’ dimana titik A’ merupakan proyeksi A pada bidang a.

Jarak Antara Dua Garis Sejajar

Jarak antara dua garis sejajar adalah panjag ruas garis antara titik yang terletak pada garis pertama dengan titik pada garis kedua yang merupakan proyeksi titik yang terletak pada garis pertama pada garis kedua. Misalkan, terdapat dua garis yang saling sejajar yaitu garis g dan garis h. Jarak antara garis g dan h adalah panjang ruas garis AA’ dimana A merupakan sebuah titik pada garis g dan titik A’ merupakan proyeksi titik A pada garis h.

Jarak Antara Garis dan Bidang

Jarak antara garis dan bidang adalah adalah panjag ruas garis antara satu titik yang dilalui garis dengan titik pada bidang  yang merupakan proyeksi titik yang dilalui garis pada bidang. Misalkan terdapat garis g dan bidang a, maka jarak antara garis g dan bidang a adalah panjang ruas garis AA’ dimana A adalah sebuah titik pada garis g dan A’ merupakan proyeksi titik A pada bidang a.

Jarak Antara Dua Bidang Sejajar

Jarak antara dua bidang sejajar adalah ruas garis yang merupakan jarak antara satu titik pada bidang pertama dengan titik yang lain pada bidang kedua dimana titik tersebut merupakan proyeksi titik yang terletak pada bidang pertama pada bidang kedua. Misalkan terdapat bidang a dan bidang b yang saling sejajar, maka jarak antara bidang a dan b merupakan panjang ruas garis AA’. Dimana A merupakan titik pada bidang a dan titik A’ merupakan proyeksi A pada bidang b.

Mengenai cara menghitung jaraknya akan dibahas pada secara spesifik lagi pada artikel yang lain.