Rumus Pembagian Ruas Garis pada Vektor

Sebelum membahas lebih lanjut mengenai pembagian ruas gari pada vektor, pertama harus dipahami terlebih dahulu mengenai vektor posisi. Misalkan jika titik-titik A, B, C, dan D meupakan titik sembarang dan O merupakan titik pangkal, maka $\vec{OA}$, $\vec{OB}$, $\vec{OC}$, dan $\vec{OD }$ memiliki vektor $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, dan $\vec{d}$. Vektor-vektor tersebut disebut dengan vektor posisi dari titik-titik A, B, C, dan D.

Pembagian Ruas Garis dalam Perbandingan Bagian

Suatu titik C membagi ruas garis AB dala perbandingan m dan n sehingga AC : BC = m : n
1. Jika C di dalam AB, maka $\vec{AC}$, $\vec{CB}$ mempunyai arah yang sama dan m, n mempunyai tanda yang sama
AC : CB = m : n
AC : AB = m : (m + n)

2. Jika C di luar AB, maka $\vec{AC}$, $\vec{CB}$ mempunyai arah berlawanan dan m, n mempunyai tanda yang berlawanan
AC AC : CB = m : -n
AC : AB = m : (m - n)

Pembagian Ruas Garis dalam Bentuk Vektor

Misalkan terdapat tiga buah titik yaitu A, B, dan C dengan vektor posisi $\vec{a}$, $\vec{b}$, dan $\vec{c}$. Apabila titik C membagi ruas garis AB dengan perbandingan AC : CB = m : n, maka vektor $\vec{c}$ dapat ditentukan rumus:
$\vec{c}$ $= \frac{m\vec{a} + n\vec{b}}{m + n}$

Pembagian Ruas Garis dalam Bentuk Koordinat

Bila titik C membagi ruas garis yang menghubungkan titik A $(x_1, y_1, z_1)$ dan B $(x_2, y_2, z_2)$ dengan perbandingan m : n, maka koordinat titik C dapat ditentukan dengan rumus:
$x$ $= \frac{m x_2 + n x_1}{m + n}$
$y$ $= \frac{m y_2 + n y_1}{m + n}$
$z$ $= \frac{m z_2 + n z_1}{m + n}$

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal beserta pembahasanya
Contoh 1
Ruas garis AB mempunyai koordinat titik A(3, -1) dan titik B(6, 5). Tentukan titik C, jika AC : CB = 2 : 1!
Penyelesaian
Koordinat titik C
$x$ $= \frac{2 (6) + 1 (3)}{2 + 1}$ $ = 5$
$y$ $= \frac{2 (5) + 1 (-1)}{2 + 1}$ $ = 3$
Jadi, koordinat titik C adalah (5, 3)

Contoh 2
Misalkan titik P(2, 3, -1) dan Q(7, -2, 9). Titik R membagi ruas garis PQ dengan perbandingan 1 : 4. Tentukan koordinat titik R!
Penyelesaian
Titik R mebagi ruas garis PQ dengan perbandingan 1 : 4, maka PR : RQ = 1 : 4
Koordinat titik R
$x$ $= \frac{1 (7) + 4 (2)}{1 + 4}$ $ = 3$
$y$ $= \frac{1 (-2) + 4 (3)}{1 + 4}$ $ = 2$
$z$ $= \frac{1 (9) + 4 (-1)}{1 + 4}$ $ = 1$
Jadi, koordinat R adalah (3, 2, 1)

Perkalian Skalar Dua Vektor

Jika telah mengenal vektor, selanjutnya perkalian skalar dua vektor, merupakan materi penting yang perlu dipahami dalam mempelajari vektor. Perkalian skalar antara dua vektor ini akan membantu anda dalam memahami kedudukan atau sudut yang dibentuk oleh dua vektor dan sangat erat kaitanya dengan proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain.

Perkalian skalar antara vektor $\vec{a}$ dan vektor $\vec{b}$ dilambangkan dengan $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$. Perkalian skalar (scalar product), ini sering juga dinamakan sebagai perkalian titik (dot product). Perkalian skalar dua vektor didefinisikan sebagai:

$\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ $=|\vec{a}||\vec{b}| cos \theta$

Dengan $|\vec{a}|$ dan $|\vec{b}|$ masing-masing menyatakan panjang vektor $\vec{a}$ dan vektor $\vec{b}$. Sedangkan $\theta$ menyatakan sudut lancip yang dibentuk oleh kedua vektor. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut

Contoh:
Panjang vektor $\vec{a}$ dan vektor $\vec{b}$ berturut-turut adalah 4 dan 5 satuan. Jika kedua vektor membentuk sudut 60$^o$, hitunglah perkalian skalar antara vektor $\vec{a}$ dan vektor $\vec{b}$!

Penyelesaian
$\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ $=|\vec{a}||\vec{b}| cos \theta$
$\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ $= 4 \times 5 \times cos 60^{o}$
$\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ $= 4 \times 5 \times$ $\frac{1}{2}$
$\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ $= 10$

Perkalian Skalar Dua Vektor dalam Bentuk Kolom

Perkalian skalar dapat pula dilakukan dalam bentuk vektor kolom. Baik di R2 maupun di R3 caranya sama yaitu mengalikan elemen yang bersesuaian kemudian hasilnya dijumlahkan. Misalkan $\vec{a}$ $ = \begin{pmatrix}
x_1\\y_1

\end{pmatrix}$ dan $\vec{b}$ $ = \begin{pmatrix}
x_2\\y_2

\end{pmatrix}$. Perkalian skalar antara kedua vektor tersebut adalah
$\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ $= \begin{pmatrix}
x_1\\y_1

\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
x_2\\y_2

\end{pmatrix}$ $= x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}$

Atau pada R3, misalkan $\vec{a}$ $=\begin{pmatrix}
x_1\\y_1
\\ z_1

\end{pmatrix}$ dan $\vec{b}$ $=\begin{pmatrix}
x_2\\y_2
\\ z_2

\end{pmatrix}$. Perkalian skalar kedua vektor tersebut dapat dinyatakan dalam
$\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ $=\begin{pmatrix}
x_1\\y_1
\\ z_1

\end{pmatrix}$ $\cdot$ $\vec{b}$ $=\begin{pmatrix}
x_2\\y_2
\\ z_2

\end{pmatrix}$ $= x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} + z_{1}z_{2}$

Berikut ini contoh soal untuk perkalian skalar dua vektor dalam bentuk kolom.

Contoh:
Misalkan dua vektor $\vec{p}$ $=\begin{pmatrix}
3\\-3
\\2

\end{pmatrix}$ dan vektor $\vec{q}$ $=\begin{pmatrix}
2\\1
\\ 3

\end{pmatrix}$. Tentukan perkalian skalar $\vec{p}$ dengan $\vec{q}$.

Penyelesaian
$\vec{p}$ $\cdot$ $\vec{q}$ $=\begin{pmatrix}
3\\-3
\\2

\end{pmatrix}$ $\cdot$ $\begin{pmatrix}
2\\1
\\ 3

\end{pmatrix}$ $= 3\times2 + (-3)\times1 + 2\times3$ $= 9$

Kedudukan Dua Vektor Berdasarkan Perkalian Skalarnya

Hasil dari perkalian skalar dua vektor kemungkinan akan menghasilkan bilangan positif, negatif, dan bahkan nol. Dengan mengetahui ini, kedudukan antara kedua vektor tersebut dapat diketahui. Berikut ini adalah 5 kedudukan yang mungkin dari kedua vektor
1. Jika $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b} > 0$, maka $cos\theta >0$ atau $0^{o}<\theta<90^{o}$. Dalam hal demikian, sudut yang dibentuk oleh kedua vektor adalah sudut lancip
2. Jika $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b} = 0$, maka $cos\theta = 90^{o}$. Ini berarti kedua vektor saling tegak lurus (ortogonal).
3. Jika $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b} < 0$, maka $cos\theta <0$ atau $90^{o}<\theta<180^{o}$. Keda vektor membentuk sudut tumpul.
4. Jika $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|$, maka $cos\theta = 1$ atau $\theta = 0^{o}$. Kedua vektor saling berimpit
5. Jika $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b} = -|\vec{a}||\vec{b}|$, maka $cos\theta = -1$ atau $\theta = 180^{o}$. Kedua vektor berlawanan arah.

Contoh
Tentukan kedudukan dari vektor $\vec{a}$ $ = \hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$ dan vektor $\vec{b}$ $= -2\hat{i} + 3\hat{j} +\hat{k}$.
Jawab
 $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ $= 1\times(-2) + 2\times3 + 4 \times1$ $= 8$
$8 > 0$, ini berarti kedua vektor membentuk sudut lancip.

Dari kedudukan vektor tersebut, kita akan mudah memahami  teorema Ortogonalitas. Teorema ini menyatakan bahwa, dua vektor yang tidak nol dikatakan saling tegak lurus (ortogonal) jika dan hanya jika perkalian skalar dari kedua vektor hasilnya nol.

Contoh
Diketahui dua vektor $\vec{p}$ $=\begin{pmatrix}
2\\-1
\\-3

\end{pmatrix}$ dan vektor $\vec{q}$ $=\begin{pmatrix}
k\\1
\\ 5

\end{pmatrix}$. Tentukan nilai k, jika vektor $\vec{p}$ dan $\vec{q}$ saling tegk lurus!

Penyelesaian
Karena saling tegak lurus maka
$\vec{p}$ $\cdot$ $\vec{q}$ $= 0$
$\begin{pmatrix}
2\\-1
\\-3

\end{pmatrix}$ $\cdot$ $\begin{pmatrix}
k\\1
\\ 5


\end{pmatrix}$ $= $$2\times k + (-1)\times1 + (-3)\times5$ $= 0$
$2k - 16$ $= 0$
$2k = 16$
$k = 8$
Jadi, nilai k = 8

Sifat-sifat Perkalian Skalar Dua Vektor

Perkalian skalar dua vektor memiliki dua sifat utama, yaitu
Komutatif, $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ = $\vec{b}$ $\cdot$ $\vec{a}$
Distributif, $\vec{a}$ $\cdot$ $(\vec{b} + \vec{c})$ = $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ + $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{c}$

Sudut Antara Dua Vektor

Dari pekalian skalar dua vektor, dapat juga ditentukan besar sudut diantara kedua vektor tersebut. Rumus untuk menentukan sudut antara kedua vektor adalah
$cos\theta$ $=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

Berikut ini adalah contoh soal beserta pembahasan, penentuan sudut diantara dua vektor.
Contoh
Diketahui dua vektor $\vec{a}$ $=\begin{pmatrix}
2\\1
\\-3

\end{pmatrix}$ dan vektor $\vec{q}$ $=\begin{pmatrix}
-1\\3
\\ -2

\end{pmatrix}$. Tentukan sudut antara vektor $\vec{p}$ dan $\vec{q}$!

Penyelesaian
$\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ $= 2\times (-1) + 1\times3 + (-3)\times(-2)$ $ = 7$
$|\vec{a}|$ $=\sqrt{2^{2}+1^{2}+(-3)^{2}}$ $=\sqrt{14}$
$|\vec{a}|$ $=\sqrt{(-1)^{2}+3^{2}+(-2)^{2}}$ $=\sqrt{14}$
$cos\theta$ $=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
$cos\theta$ $=\frac{7}{\sqrt{14} \sqrt{14}}$
$cos\theta$ $=\frac{7}{14}$
$cos\theta$ $=\frac{1}{2}$
$\theta $ $=arc cos \frac{1}{2}$
$\theta$ $=60^{o}$

Demikianlah mengenai perkalian skalar dua vektor semoga bermanfaat

Mengenal Vektor

Kita mengenal dua besaran yaitu besaran Skalar dn Vektor. Besaran skalar adalah besaran yang memiliki nilai sedangkan Vektor merupakan besaran yang memiliki nilai dan arah. Vektor  dapat kita analogikan dalam perpindahan, misalkan suatu benda berpindah dari titik A ke titik B maka yang terkandung dalam perpindahan tersebut adalah jarak perpindahan dan arah perpindahan dari titik A sebagai titik pangkal ke titik B.

Vektor biasanya dinotasikan menurut pangkal dan ujungnya, misalkan $\vec{AB}$, ini berarti titik A sebagai titik pangkal (titik asal) dan titik B sebagai titik ujung (titik terminal). $\vec{AB}$ dapat dituliskan dengan menggunakan lambang huruf kecil yang dicetak tebal atau dengan huruf kecil yang dibubuhi tanda panah di atas huruf itu, misalnya   atau $\vec{r}$.

Komponen vektor dinyatakan dalam bentuk baris, kolom ataupun vektor basis. Vektor dalam bidang atau di R2, hanya memiliki dua komponen yaitu absis (x) dan ordinat (y). Sedangkan, vektor dalam ruang atau di R3, memiliki tiga komponen x, y, dan z.

Vektor di R2 memiliki  basis  $\hat{i}$ dan $\hat{j}$ saja, sedangkan vektor di R3 memiliki  basis  $\hat{i}$, $\hat{j}$, $\hat{k}$. Vektor dapat dinyatakan dalam bentuk vektor baris dan vektor kolom. Misalkan $\vec{r}$ = (x y) atau $\vec{r}$ = (x y z) dalam bentuk vektor kolom akan menjadi $\vec{r}$ $=\begin{pmatrix}
x\\ y

\end{pmatrix}$
atau  $\vec{r}$ $=\begin{pmatrix}
x\\ y
\\ z

\end{pmatrix}$

Jika telah memahami pengertian dan notasi vektor kita akan lanjutkan dengan materi lainnya

Kesamaan Dua Vektor

Dua buah vektor dikatakan sama apabila panjang dan arahnya sama.


Vektor Nol

Suatu vektor disebut vektor nol apabila panjangnya nol. Arah dari vektor nol tak tentu, misalnya $\vec{AA}$, $\vec{BB}$, $\vec{CC}$, dan semacamnya disebut vektor nol. Vektor not dilambangkan dengan $\vec{O}$

Panjang Vektor

Panjang suatu vektor dituliskan dengan menambahkan tanda mutlak pada vektor, misalkan panjang vektor $\vec{r}$ ditulis $|\vec{r}|$. Jika $\vec{r}$ = (x, y) adalah suatu vektor dalam bidang, maka panjang vektor $\vec{r}$ dapat ditentukan dengan
$|\vec{r}|$ $= \sqrt{x^2 + y^2}$
Sedangkan, jika $\vec{r}$ = (x, y, z) adalah suatu vektor dalam ruang, maka panjang vektor $\vec{r}$ dapat ditentukan dengan rumus
$|\vec{r}|$ $= \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

Vektor Satuan

Vektor satuan yang searah dengan sumbu X positif, Y positif, dan z positif, yaitu berturut-turut vektor $\hat{i}$, $\hat{j}$, dan $\hat{k}$. Vektor-vektor  satuan $\hat{i}$, $\hat{j}$, dan $\hat{k}$ mempunyai panjang satu satuan dan dalam sistem koordinat ruang mengikuti aturan putaran kanan  atau aturan tangan kanan.
Untuk sembarang vektor $\vec{r}$ yang bukan merupakan vektor nol, kita dapat menentukan vektor satuannya. Vektor satuan $\vec{r}$ dilambangkan dengan $\hat{j}$ (dibaca e topi), vektor ini searah dengan vektor $\vec{r}$ den panjangnya sama dengan satu satuan

Jika $\vec{r}$ = (x, y) adalah suatu vektor dalam bidang, maka vektor satuan dari $\vec{r}$ adalah
$\hat{e}$ $= \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}$
atau
$\hat{e}$ $=\frac{1}{|\vec{r}|}\begin{pmatrix}
x\\ y

\end{pmatrix}$
($\vec{r}$ dalam bentuk vektor kolom)

Jika $\vec{r}$ = (x, y, z) adalah suatu vektor dalam ruang, maka vektor satuan dari $\vec{r}$ adalah
$\hat{e}$ $= \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}$
atau
$\hat{e}$ $=\frac{1}{|\vec{r}|}\begin{pmatrix}
x\\ y
\\ z

\end{pmatrix}$
($\vec{r}$ dalam bentuk vektor kolom)

Operasi Vektor

Operasi vektor dapat dilakukan dengan sistem geometri ataupun sistem komponen. Secara geometris operasi penjumlahan dan pengurangan vektor dapat di baca pada Penjumlahan dan Pengurangan Vektor. Dengan sistem  komponen dapat kita mulai dari vektor dalam bidang, misalkan $\vec{a}$ $= \begin{pmatrix}
x_1\\ y_1

\end{pmatrix}$, $\vec{b}$ $= \begin{pmatrix}
x_2\\ y_2

\end{pmatrix}$, dan vektor ruang $\vec{c}$ $=\frac{1}{|\vec{r}|}\begin{pmatrix}
x_1\\ y_1
\\ z_1

\end{pmatrix}$, $\vec{d}$ $=\frac{1}{|\vec{r}|}\begin{pmatrix}
x_2\\ y_2
\\ z_2

\end{pmatrix}$ serta k adalah bilangan real.

Penjumlahan
Dalam Bidang (R2)
$\vec{a}$ + $\vec{b}$ $= \begin{pmatrix}
x_1 + x_2\\ y_1 + y_2

\end{pmatrix}$
Dalam Ruang (R3)
$\vec{c} + \vec{d}$ $=\begin{pmatrix}
x_1 + x_2\\ y_1 + y_2
\\ z_1 + z_2

\end{pmatrix}$

Pengurangan
Dalam Bidang (R2)
$\vec{a}$ + $\vec{b}$ $= \begin{pmatrix}
x_1 - x_2\\ y_1 - y_2

\end{pmatrix}$
Dalam Ruang (R3)
$\vec{c} + \vec{d}$ $=\begin{pmatrix}
x_1 - x_2\\ y_1 - y_2
\\ z_1 - z_2

\end{pmatrix}$

Perkalian dengan Skalar
Dalam Bidang (R2)
$k\vec{a}$ $= \begin{pmatrix}
kx_1\\ ky_1

\end{pmatrix}$
Dalam Ruang (R3)
$k\vec{c}$ $=\begin{pmatrix}
kx_1\\ ky_1
\\ kz_1

\end{pmatrix}$

Sifat-sifat yang berlaku ( dalam bidang dan ruang) pada operasi vektor
Komutatif, $\vec{a}$ + $\vec{b}$ = $\vec{b}$ + $\vec{a}$
Asosiatif, $\vec{a}$ + ($\vec{b}$ + $\vec{c}$) = ($\vec{a}$ + $\vec{b}$) + $\vec{c}$
Identitas, $\vec{a}$ + 0 = $\vec{a}$
Invers Jumlah, $\vec{a}$ + (-$\vec{a}$) = 0

Rumus Jarak di R3

Jika diketahui titik P($x_1$, $y_1$, $z_1$) dan titik Q($x_2$, $y_2$, $z_2$) terletak di R3, maka ruas garis berarah $\vec{PQ}$ mewakili vektor $\begin{pmatrix}
x_2-x_1\\ y_2-y_1
\\ z_2-z_1

\end{pmatrix}$

Panjang ruas garis PQ adalah jarak antara titik P dan titik Q yang dapat ditentukan dengan rumus
$\vec{PQ}$ $=\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$

Vektor Posisi

Vektor posisi adalah vektor yang memiliki titik pangkal koordinat di pusat koordinat O. Semua vektor dapat dinyatakan dalam vektor posisi. Misalkan A merupakan suatu titik, vektor $\vec{a}$ adalah vektor posisi yang mewakili ruas garis berarah $\vec{OA}$

Banyak hal yang masih kurang dalam penjelasan di atas, materi vektor lainnya dapat dilihat pada artikel lainnya. Seperti Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor Pada Vektor Lain, Rumus Pembagian Ruas Garis di R3, dan Perkalian Skalar Dua Vektor.

Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor Pada Vektor Lain

Sebelum mempelajari proyeki suatu ortogonal suatu vektor pada vektor lain,  ada baiknya kita mengingat kembali mengenai perkalian skalar dua vektor. Hal ini sangat penting karena materi yang akan dibahas kali ini merupakan aplikasi dari materi perkalian skalar dua vektor.
Dengan menggunakan definisi perkalian skalar, selanjutnya dapat ditentukan 

Proyeksi Skalar Ortogonal

Proyeksi skalar ortogonal sering disingkat dengan proyeksi skalar atau dapat dikatakan sebagai panjang proyeksi vektor. Misalkan terdapat vektor $\overrightarrow{a}$ dan vektor $\overrightarrow{b}$, proyeksi skalar ortogonal dari vektor $\overrightarrow{a}$ pada arah vektor $\overrightarrow{b}$ adalah |$\overrightarrow{c}$|, dengan |$\overrightarrow{c}$| dapat ditentukan dengan rumus:
|$\overrightarrow{c}$| = $\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal dan pembahasan proyeksi skalar ortogonal berikut.

Contoh 1
Diketahui vektor $\overrightarrow{a}$ = $\begin{pmatrix}
2 \\ 1

\end{pmatrix}$ dan $\overrightarrow{b}$ = $ \begin{pmatrix}
3 \\ 4

\end{pmatrix}$ adalah vektor-vektor di R2 yang disajikan dalam bentuk kolom. Tentukan proyeksi skalar dari vektor $\overrightarrow{a}$ pada arah vektor $\overrightarrow{b}$ serta proyeksi skalar vektor $\overrightarrow{b}$ pada arah vektor $\overrightarrow{a}$!
Penyelesaian:
Proyeksi skalar dari vektor $\overrightarrow{a}$ pada arah vektor $\overrightarrow{b}$
|$\overrightarrow{c}$| = $\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$
|$\overrightarrow{c}$| = $\frac{2\times3 + 1\times4}{\sqrt{3^2 + 4^2}}$
|$\overrightarrow{c}$| = $\frac{6 + 4}{\sqrt{9 + 16}}$
|$\overrightarrow{c}$| = $\frac{10}{5}$
|$\overrightarrow{c}$| = $2$
Proyeksi skalar dari vektor $\overrightarrow{b}$ pada arah vektor $\overrightarrow{a}$ (kita sebut dengan |$\overrightarrow{d}$|)
|$\overrightarrow{d}$| = $\frac{\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{b}|}$
|$\overrightarrow{d}$| = $\frac{2\times3 + 1\times4}{\sqrt{2^2 + 1^2}}$
|$\overrightarrow{d}$| = $\frac{6 + 4}{\sqrt{4 + 1}}$
|$\overrightarrow{d}$| = $\frac{10}{\sqrt{5}}$
|$\overrightarrow{d}$| = $2\sqrt{5}$ (dirasionalkan)

Contoh 2
Diketahui vektor $\overrightarrow{a}$ = $\begin{pmatrix}
2\\ -6
\\ -3

\end{pmatrix}$ dan $\overrightarrow{b}$ = $\begin{pmatrix}
2\\ 1
\\ -2

\end{pmatrix}$ adalah vektor-vektor di R3 yang disajikan dalam bentuk kolom. Tentukan proyeksi skalar dari vektor $\overrightarrow{a}$ pada arah vektor $\overrightarrow{b}$!
Penyelesaian
Proyeksi skalar dari vektor $\overrightarrow{a}$ pada arah vektor $\overrightarrow{b}$
|$\overrightarrow{c}$| = $\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$
|$\overrightarrow{c}$| = $\frac{2\times2 + (-6)\times1 + (-3)\times(-2)}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}}$
|$\overrightarrow{c}$| = $\frac{4 - 6 + 6}{\sqrt{4 + 1 + 4}}$
|$\overrightarrow{c}$| = $\frac{4}{\sqrt{9}}$
|$\overrightarrow{c}$| = $\frac{4}{3}$

Proyeksi Vektor Ortogonal

Proyeksi vektor ortogonal ortogonal dari vektor $\overrightarrow{a}$ pada arah vektor $\overrightarrow{b}$ adalah |$\overrightarrow{c}$|, dengan |$\overrightarrow{c}$| dapat ditentukan dengan rumus:
$\overrightarrow{c}$ = $\left(\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|^2}\right) \overrightarrow{b}$
Agar lebih memahaminya berikut akan disajikan contoh soal beserta pembahasanya

Contoh 3
Diketahui vektor $\overrightarrow{a}$ = 2$\overrightarrow{i}$ - 3$\overrightarrow{j}$ + 6$\overrightarrow{k}$ dan vektor $\overrightarrow{b}$ = 2$\overrightarrow{i}$ + 2$\overrightarrow{j}$ + $\overrightarrow{k}$. Tentukan proyeksi vektor ortogonal $\overrightarrow{a}$ pada $\overrightarrow{b}$!
Penyelesaian
$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ = $2\times2 + (-3)\times2 + 6\times1$ = $4$ 
|$\overrightarrow{b}$|$^2$ = $(\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2})^2$ =$9$
$\overrightarrow{c}$ = $\left(\frac{\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|^2}\right) \overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{c}$ = $\frac{4}{9} (2\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + \overrightarrow{k})$
$\overrightarrow{c}$ = $ (\frac{8}{9}\overrightarrow{i} + \frac{8}{9}\overrightarrow{j} + \frac{4}{9}\overrightarrow{k})$

Dalam beberapa soal, tidak usah bingung suatu vektor dapat dinyatakan dalam vektor baris, vektor kolom maupun vektor satuan. Pada dasarnya bagaimanapun vektor itu dituliskan cara penyelesaianya adalah sama. 

Contoh 4
Diketahui titik-titik A(1, 2, 2), B(0, 1, 0), dan C(2, -1, -1). Tentukan proyeksi vektor ortogonal dari $\overrightarrow{AB}$ pada $\overrightarrow{AC}$
Penyelesaian
$\overrightarrow{AB}$ = $\begin{pmatrix}
0 - 1\\ 1 - 2
\\ 0 - 2

\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}
-1\\ -1
\\ -2


\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AC}$ = $\begin{pmatrix}
2 - 1\\ -1 - 2
\\ -1- 2


\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}
1\\ -3
\\ -3


\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$ = $(-1)\times1 + (-1)\times(-3) + (-2)\times(-3)$ = $8$
|$\overrightarrow{b}$|$^2$ = $(\sqrt{1^2 + (-3)^2 + (-3)^2})^2$ =$19$
proyeksi vektor ortogonal dari $\overrightarrow{AB}$ pada $\overrightarrow{AC}$ adalah
$\overrightarrow{c}$ = $\left(\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|^2}\right) \overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{c}$ = $\frac{8}{19} \begin{pmatrix}
1\\ -3
\\ -3

\end{pmatrix}$
Demikianlah mengenai proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain semoga dapat dipahami dan bermanfaat.

Aplikasi Integral Tentu Untuk Menghitung Luas Daerah

Jika anda telah memahami konsep dasar integral yaitu integral tak tentu dan integral tentu. Anda akan mungkin lebih mudah dalam mempelajari aplikasi dari integral. Aplikasi integral yang biasanya dipelajari adalah penerapan integral dalam menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva dan penggunaan integral untuk menentukan volume benda putar.

Pada bahasan kali ini kita akan membahas mengenai aplikasi integral untuk menghitung luas daerah. Luas daerah yang dimaksud dalam hal ini adalah luas daerah yang dibatasi oleh kurva dengan sumbu x dan luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva

Luas Daerah yang Dibatasi oleh Kurva dan Sumbu x

Misalkan kurva y = f(x), dengan f merupakan fungsi kontinu dan non negatif (f(x) ≥ 0) dalam interval a ≤ x ≤ b. Misalkan R adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu x, dan garis-garis x = a dan x = b. Luas daerah R dapat ditentukan dengan
$L = \int_{a}^{b} y dx$
Untuk lebih jelasnya berikut adalah contoh soal integral luas derah beserta pembahasannya

Contoh 1
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh y = 3x$^2$ + 6x, sumbu x, dan garis-garis x = 0 dan y = 0!
Penyelesaian
L = $\int_{a}^{b} y dx$
L = $\int_{0}^{2} (3x^2 + 6x) dx$
L = $\int_{0}^{2} (x^3 + 3x) dx$
L = $[x^3 + 3x]\int_{0}^{2}$
L = $(2^3 + 3(2))-(0^3 + 3(0))$
L = (8 + 6) - 0
L = 14 satuan luas

Penjelasan di atas merupakan integal luas daerah kurva yang berada di atas sumbu x, bagaimana apabila ternyata luas daerah yang di cari berada di bawah sumbu-x? Perhatikan gambar berikut
Jika dihitung biasanya kita akan menemukan nilai luas negatif. Karena luas harus bernilai positif, maka rumus integral yang tepat untuk menghitung luas daerah tersebut adalah
$L = -\int_{a}^{b} y dx$
Berikut ini contoh integral luas daerah di bawah sumbu x beserta pembahasanya

Contoh 2
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x$^2$ - 2x dan sumbu x!
Penyelesaian
Jika digambar maka luas daerah yang dimaksud adalah daerah yang berada di bawah kurva. Bagaimana dengan batas-batasnya? dalam hal ini batas atas dan batas bawah integral menggunakan titik potong sumbu x kurva tersebut.
0 = x$^2$ - 2x
(x - 2)x = 0
x - 2 = 0 atau x = 0
x = 2
L = $-\int_{a}^{b} y dx$
L = $-\int_{0}^{2}(x^2 - 2x) dx$
L = $-[\frac{1}{3}x^3 - x^2] \int_{0}^{2}$
L = $-((\frac{1}{3}(2)^3 - 2^2) - (\frac{1}{3}(0)^3 - 0^2))$
L = $-((\frac{8}{3} - 4) - (0))$
L = $-(\frac{8}{3} - \frac{12}{3})$
L = $-(- \frac{4}{3})$
L = $\frac{4}{3}$ satuan luas

Pada kasus lain, luas daerah yang dicari berada di atas dan di bawah sumbu x. Perhatikan gambar berikut!
Untuk menentukan luas daerah tersebut kita dapat menggunakan rumus integral
$L = \int_{a}^{b} y dx$ $-\int_{b}^{c} y dx$
Perhatikan contoh soal berikut

Contoh 3
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x$^3$ - x dan sumbu x!
Penyelesaian
Titik potong kurva dengan sumbu x adalah
0 = x$^3$ - x
x(x + 1)(x - 1) = 0
x = -1 atau x = 0 atau x = 1
Jika digambar maka kurvanya akan terlihat seperti berikut
L = $\int_{a}^{b} y dx$ $-\int_{b}^{c} y dx$
L = $\int_{-1}^{0} (x $^3$ - x) dx$ $-\int_{0}^{1} (x $^3$ - x) dx$
L = $ [\frac{1}{4}x $^4$ - \frac{1}{2}x^2] \int_{-1}^{0}$ $- [\frac{1}{4}x $^4$ - \frac{1}{2}x^2] \int_{0}^{1}$
L = $ ((\frac{1}{4}(0) $^4$ - \frac{1}{2}(0)^2)-(\frac{1}{4}(-1) $^4$ - \frac{1}{2}(-1)^2))$ $- ((\frac{1}{4}(1) $^4$ - \frac{1}{2}(1)^2)-(\frac{1}{4}(0) $^4$ - \frac{1}{2}(0)^2))$
L = $ (0 -(-\frac{1}{4}))$ $- ((- \frac{1}{4}) - 0)$
L = $ \frac{1}{4}$ $+ \frac{1}{4}$
L = $ \frac{1}{2}$  satuan luas

Luas Daerah yang Dibatasi Dua Kurva

Misalkan dua kurva masing-masing y = f(x) dan y = g(x), merupakan kurva-kurva yang kontinu dan f(x) ≥ g(x) dalam interval a ≤ x ≤ b. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), dan y = g(x), garis x = a, dan garis x = b luasnya dapat ditentukan oleh rumus integral
$L = \int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] dx$
Berikut adalah contoh soal beserta pembahasannya

Contoh 4
Tentkan luas daerah yang dibatasi oleh kurva parabola y = 2 - x$^2$ dan garis y = x!
Penyelesaian
Terlebih dahulu kita mencari batas-batas integralnya, yaitu
2 - x$^2$ = x
x$^2$ + x - 2 = 0
(x + 2)(x - 1) = 0
x = -2 zatau x = 1

L = $\int_{-2}^{1} [(2 - x^2) - x] dx$
L = $ [2x - \frac{1}{3}x^3- \frac{1}{2}x^2] \int_{-2}^{1}$
L = $ (2(1) - \frac{1}{3}(1)^3-\frac{1}{2}(1)^2)-(2(-2) - \frac{1}{3}(-2)^3 - \frac{1}{2}(-2)^2)$
L = $ (2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2})-(-4 + \frac{8}{3} - 2)$
L = $ ((\frac{7}{6})-(- \frac{20}{6})$
L = $ \frac{27}{6}$
L = $ \frac{9}{2}$ satuan luas

Contoh 5
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 6x - x$^2$ dan y = x$^2$!
Penyelesaian
6x - x$^2$ = x$^2$
2x$^2$ - 6x = 0
x(2x - 6) = 0
x = 0 atau x = 3
L = $\int_{0}^{3} [6x - x^2 - x^2] dx$
L = $\int_{0}^{3} [6x - 2x^2] dx$
L = $ [3x^2 - \frac{2}{3}x^3] \int_{0}^{3}$ 
L = $ ((3(3)^2 - \frac{2}{3}(3)^3) - ((3(0)^2 - \frac{2}{3}(0)^3)$ 
L = $ ((27 - 18) - (0  - 0)$
L = 9 satuan luas

Cara Cepat Menentukan Luas Daerah yang Dibatasi Dua Kurva

Sebenarnya ada cara cepat yang dapat digunakan untuk menentukan luas daerah yang dibatasi dua kurva tanpa menggunakan integral. Namun, ada kondisi khusus atau syarat yang harus dipenuhi yaitu luas yang dicari merupakan luas yang dibatasi oleh dua parabola atau luas yang dibatasi oleh parabola dan sebuah garis. Untuk menentukan luasnya, kita dapat menggunakan rumus
$L = \frac{Dsqrt{D}}{6a^2}
D sendiri adalah diskriminan dan D = b$^2$ - 4ac. Diskriminan diperoleh dengan cara mensubstitusi salah satu kurva ke kurva yang lain sehingga diperoleh persamaan ax$^2$ + bx + c = 0. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal menentukan luas daerah tanpa integral beserta pembahasannya

Contoh 6
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh y = 2 - x$^2$ dan y = -x!
Penyelesaian
Luas daerah yang dicari adalah luas daerah yang dibatasi oleh parabola dan sebuah garis, jadi kita dapat menggunakan cara cepat
2 - x$^2$ = -x
x$^2$ - x - 2 = 0
D = b$^2$ - 4ac = (-1)$^2$ - 4(1)(-2) = 9
L = $\frac{Dsqrt{D}}{6a^2}$
L = $\frac{9sqrt{9}}{6(1)^2}$
L = $\frac{9}{2}$ satuan luas

Contoh 7
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh y = x$^2$ - 4 dan y = 8 - 2x$^2$!
Penyelesaian
Luas daerah yang dicari adalah luas daerah yang dibatasi oleh dua parabola, jadi kita dapat menggunakan cara cepat
x$^2$ - 4 = 8 - 2x$^2$
3x$^2$ - 12 = 0
D = = b$^2$ - 4ac = (0)$^2$ - 4(3)(-12) = 144
L = $\frac{Dsqrt{D}}{6a^2}$
L = $\frac{144sqrt{144}}{6(3)^2}$
L = $32$ satuan luas

Selain itu, pengembangan dari rumus cepat sebelumnya menghasilkan cara cepat menentukan luas daerah tanpa integral yang baru, yaitu
$L = \frac{a}{6}| x_1 - x_2 |^3$
x_1 dan x_2 merupakan titik potong kedua kurva. Karena rumus di atas merupakan pengembangan dari rumus pertama maka syarat rumus ini dapt digunakan juga sama yaitu luas yang dicari merupakan luas yang dibatasi oleh dua parabola atau luas yang dibatasi oleh parabola dan sebuah garis. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut

Contoh 8
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = 9 - x$^2$ dan y = x + 3!
Penyelesaian
9 - x$^2$ = x + 3
x$^2$ + x - 6 = 0
(x + 3)(x - 2) = 0
 x$_1$ = -3 atau x$_2$ = 2
L = $\frac{a}{6}| x_1 - x_2 |^3$
L = $\frac{1}{6}| -3 - 2 |^3$
L = $\frac{1}{6}| -5 |^3$
L = $\frac{125}{6}$ satuan luas

Untuk memudahkan menentukan luas daerah dengan integral ada baiknya jika daerah tersebut digambar terlebih dahulu. Demikianlah tadi mengenai aplikasi integral tentu untuk menghitung luas daerah yang telah dilengkapi pembahasanya. Semoga bermanfaat.

Menghitung Volume Benda Putar Dengan Integral

Aplikasi integral yang pada umumnya dipelajari adalah mengenai menghitung luas daerah yang dibatasi kurva serta menghitung volume benda putar. Pada artikel ini akan dibahas salah satunya yaitu  mengenai aplikasi integral untuk menghitung volume benda putar yang disertai contoh soal volume benda putar dan pembahasannya. Namun sebelum membahasnya, ada materi prasyarat yang harus dipahami terlebih dahulu yaitu integral tentu. Karena, penyelesaian dari volume benda putar ini hampir sama dengan pembahasan integral tentu.
Menghitung Volume Benda Putar Dengan Integral

Misalkan suatu daerah pada bidang datar diputar satu putaran penuh (360$^o$) mengelilingi garis tertentu, maka terbentuklah benda pejal yang disebut dengan benda putar. Sedangkan, garis tertentu tersebut disebut dengan sumbu putar atau sumbu rotasi. Untuk menentukan volume benda putar tersebut kita bisa menggunakan konsep integral.

Volume Benda Putar yang Mengelilingi Sumbu x

Volume Benda Putar yang Mengelilingi Sumbu x
Misalkan R adalah daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi y = f(x), sumbu x, dan garis-garis x = a dan x = b. Jika daerah itu diputar sejauh 360$^o$ mengelilingi sumbu x, maka akan diperoleh sebuah benda putar yang volumenya dapat ditentukan dengan rumus integral
V = 𝜋$\int_{a}^{b}y^2 dx$
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal volume benda putar berikut

Contoh 1
Daerah yang dibatasi oleh garis y = x + 3, sumbu x, x = 0, dan x = 3 diputar 360$^o$ mengelilingi sumbu x. Besar volume benda putar yang terjadi adalah ...
Penyelesaian
V = 𝜋$\int_{0}^{3}(x + 3)^2 dx$
V = 𝜋$\int_{0}^{3}(x^2 + 6x + 3) dx$
V = 𝜋$[(\frac{1}{3}x^3+ 3x^2 + 3x)]_{0}^{3}$
V = 𝜋$[(\frac{1}{3}(2)^3 + 3(2)^2 + 3(2))$-$(\frac{1}{3}(0)^3 + 3(0)^2 + 3(0))]$
V = 𝜋$[(\frac{8}{3} + 12 + 6) - 0]$
V = 𝜋$[\frac{8}{3} + 18]$
V = $\frac{62}{3}$𝜋
Jadi, volume benda putar tersebut adalah $\frac{62}{3}$𝜋  satuan volume

Volume Benda Putar yang Mengelilingi Sumbu y

Volume Benda Putar yang Mengelilingi Sumbu y
Untuk menentukan volume benda putar yang mengelilingi sumbu y, caranya hampir sama dengan sumbu x. Mungkin perbedaanya terletak pada fungsi dan batas-batasnya saja. Jika, mengelilingi sumbuk fungsingya adalah y = f(x) maka jika mengelilingi sumbu y menjadi x = g(y). Batas-batasnya juga demikian jika pada sumbu x batas-batasnya x = a dan x = b, pada sumbu y batas-batasnya adalah y = c dan y = d. Untuk lebih jelasnya perhatikan penjelasan berikut.

Misalkan R adalah daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi x = g(y), sumbu y, dan garis-garis y = c dan y = d diputar sejauh 360$^o$ mengelilingi sumbu y. Maka, akan diperoleh sebuah benda putar yang volumenya dapat ditentukan dengan rumus integral
V = 𝜋$\int_{c}^{d}x^2 dy$
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal volume benda putar yang mengelilingi sumbu y berikut

Contoh 2
Hitunglah volume benda putar dari daerah yang dibatasi ole garis y = $\frac{1}{3}x$, sumbu y, y = 1 dan y = 2, diputar sejauh 360$^o$ mengelilingi sumbu y!
Penyelesaian
Pertama kita ubah dulu persamaan y = $\frac{1}{3}x$ menjadi
x = 3y

V = 𝜋$\int_{1}^{2}(3y)^2 dy$
V = 𝜋$\int_{1}^{2}9y^2 dy$
V = 𝜋$[\frac{9}{3}y^3] _{1}^{2}$
V = 𝜋$[3y^3] _{1}^{2}$
V = 𝜋$[3(2)^3-3(1)^3]$
V = 𝜋$[24-3]$
V = 21𝜋
Jadi, volume benda putar tersebut adalah 21𝜋  satuan volume

Volume Benda Putar Suatu Daerah antara Dua Kurva

Untuk volume benda putar dari suatu daerah yang dibatasi dua kurva dibagi menjadi dua pula yaitu yang mengelilingi sumbu x dan mengelilingi sumbu y.

Mengelilingi Sumbu x
Volume Benda Putar Suatu Daerah antara Dua Kurva
Misalkan daerah yang dibatasi oleh kurva y$_1$ = f(x) dan y$_2$ = g(x) (|f(x)| ≥ |g(x)|), garis-garis x = a dan x = b diputar sejauh 360$^o$ mengelilingi sumbu x, maka besar volume benda putar yang terjadi dapat ditentukan dengan rumus integral
 V = 𝜋$\int_{a}^{b}(y_1^2 - y_2^2) dx$
Berikut adalah contoh penggunaanya

Contoh 3
Tentukan volume benda putar yang diperoleh jika daerah yang dibatasi garis y = x + 1, y = x, x = 2, dan x = 0 menglilingi sumbu x sejauh 360$^o$!
Penyelesaian
V = 𝜋$\int_{0}^{2}((x + 1)^2 - x^2) dx$
V = 𝜋$\int_{0}^{2}(x^2 + 2x + 1 - x^2) dx$
V = 𝜋$\int_{0}^{2}(2x + 1) dx$
V = 𝜋$[(x^2 + x)]_{0}^{2}$
V = 𝜋$(2^2 + 2) - (0^2 + 0)$
V = 𝜋(6 - 0)
V = 6𝜋
Jadi, volume benda putar tersebut adalah 6𝜋  satuan volume

Mengelilingi Sumbu y
Volume Benda Putar Suatu Daerah antara Dua Kurva
Misalkan daerah yang dibatasi oleh kurva x$_1$ = f(y) dan x$_2$ = g(y) (|f(y)| ≥ |g(y)|), garis-garis y = a dan y = b diputar sejauh 360$^o$ mengelilingi sumbu y, maka besar volume benda putar yang terjadi dapat ditentukan dengan rumus integral
 V = 𝜋$\int_{a}^{b}(x_1^2 - x_2^2) dy$
Berikut adalah contoh penggunaan rumus volume benda putar yang dibatasi dua kurva dan mengelilingi sumbu y

Contoh 4
Tentukan volume benda putar yang diperoleh jika daerah yang dibatasi garis y - x = 1, y = x, y = 1, dan y = 4 menglilingi sumbu y sejauh 360$^o$!
Penyelesaian
y - x = 1 ⟶ x = y - 1
V = 𝜋$\int_{1}^{4}((y - 1)^2 - y^2) dy$
V = 𝜋$\int_{1}^{4}(y^2 - 2y + 1 - y^2) dy$
V = 𝜋$\int_{1}^{4}( - 2y + 1) dy$
V = 𝜋$[(-y^2 + y)]_{1}^{4}$
V = 𝜋$[( -(4)^2 + 4) - ( -(1)^2 + 1)]$
V = 𝜋[-12 - 0]
V= -12𝜋
V = 12𝜋 (volume selalu bernilai positif)
Jadi, volume benda putar tersebut adalah 12𝜋  satuan volume

Ada kalanya batas bawah dan batas atas dari volume tidak diketahui, hal ini berarti yang digunakan sebagai batas atas dan batas bawah adalah titik potong kedua kurva atau dengan sumbu yang dilalui oleh kurva. Untuk jelasnya perhatikan contoh soal volume benda putar dan pembahasannya berikut ini.

Contoh 5
Tentukan volume benda putar yang diperoleh jika daerah yang dibatasi oleh kurva parabola y = x$^2$ + 1 dan garis y = x + 3, diputar sejauh 360$^o$ mengelilingi sumbu x!
Penyelesaian
Batas atas dan batas bawah dari integralnya adalah perpotongan dari kedua kurva yaitu
x$^2$ + 1 = x + 3
x$^2$ + 1 - x - 3 = 0
x$^2$ - x - 2 = 0
(x + 1)(x - 2) = 0
x = -1 atau x = 2

V = 𝜋$\int_{-1}^{2}((x + 3)^2$ $- (x^2 + 1)^2) dx$
V = 𝜋$\int_{-1}^{2}((x^2 + 6x + 9)$ $- (x^4 + 2x^2 + 1)) dx$
V = 𝜋$\int_{-1}^{2}(x^2 + 6x + 9$ $- x^4 - 2x^2 - 1)) dx$
V = 𝜋$\int_{-1}^{2}(- x^4 - x^2 + 6x + 8) dx$
V = 𝜋$[(\frac{-1}{5} x^5 - \frac{1}{3}x^3 + 3x^2 + 8x)] _{-1}^{2}$
V = 𝜋$[(\frac{-1}{5} (2)^5 - \frac{1}{3}(2)^3 + 3(2)^2 + 8(2))$ $-(\frac{-1}{5} (-1)^5 - \frac{1}{3}(-1)^3 + 3(-1)^2 + 8(-1)] $
V = 𝜋$[(\frac{-32}{5}- \frac{8}{3} + 12 + 16)$ $-(\frac{1}{5} - \frac{-1}{3} + 3 - 8)] $
V = 𝜋$[(\frac{-32}{5}- \frac{8}{3} + 28)$ $-(\frac{1}{5} - \frac{-1}{3} - 5)] $
V = 𝜋$[(\frac{-96}{15}- \frac{40}{15} + \frac{420}{15})$ $-(\frac{3}{15} + \frac{5}{15} - \frac{75}{15})] $
V = 𝜋$[\frac{284}{15}+ \frac{67}{15})] $
V = 𝜋$\frac{351}{15} $
V = $\frac{117}{5} $𝜋
Jadi, volume benda putar tersebut adalah $\frac{117}{5} $𝜋  satuan volume

Dengan konsep volume benda putar ini pula kita dapat menemukan aplikasi integral lainnya yaitu dalam menentukan atau membuktikan rumus volume kerucut dan bola. Nah demikianlah mengenai menghitung volume benda puatr dengan integral semoga dapat dipahami dan bermanfaat.

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dalam Sinus, Cosinus, dan Tangen

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang memiliki  derajat (orde) dua. Persamaan kuadrat yang biasanya kita temukan dalam bentuk ax$^2$ + bx + c = 0, bisa kita temukan dalam bentuk logaritma, bahkan dalam bentuk perbandingan trigonometri yaitu sinus (sin), cosinus (cos) dan tangen (tan). Nah, kali ini kita akan membahas persamaan kuadrat dalam sinus, cosinus, dan tangen. Sama dengan persamaan kuadrat pada umumnya, persamaan kuadrat dalam bentuk trigonometri bisa diselesaikan dengan tiga cara yaitu memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna, dan rumus kuadrat atau yang lebih dikenal dengan rumus abc.

Bentuk umum persamaan kuadrat dalam bentuk sinus, kosinus, dan tangen dapat berbentuk sebagai berikut.
asin$^2$x$^o$ + bsin$^o$ + c = 0
acos$^2$x$^o$ + btan$^o$ + c = 0 
atan$^2$x$^o$ + btan$^o$ + c = 0

Untuk menyelesaikan persamaan-persamaan kuadrat di atas, langkah pertama adalah dengan membuat pemisalan untuk perbandingan trigonometrinya. Kita misalkan saja dengan p, maka bentuk umum persmaan kuadrat di atas akan menjadi ap$^2$ + bp + c = 0 baik untuk sinus, cosinus maupun tangen. Kemudian kita tentukan nilai p yang memenuhi. Setelah didapat nilai p, kita kembalikan p menjadi perbendingan trigonometri dan kita akan memperoleh persamaan trigonometri sederhana. Terakhir kita selesaikan persmaan tersebut dengan cara yang dapat di baca pada artikel ini.

Namun, sebelum menentukan penyelesaian dari persmaan kuadrat di atas, ada syarat yang harus dipenuhi agar persamaan kuadrat di atas mempunyai penyelesaian. Untuk persamaan kuadrat dalam sinus dan cosinus, ada dua syarat yang harus dipenuhi yaitu
  1. Syarat perlu, D ≥ 0
  2. Syarat cukup, -1 ≤ p ≤ 1
Sedangkan, untuk persamaan kuadrat dalam tangen, hanya memerlukan satu syarat yang harus dipenuhi yaitu
Syarat perlu, D ≥ 0
Dengan D adalah diskriminan yang nilainya dapat ditentukan dengan D = b$^2$ - 4ac

Sebagai contoh, apakah sin$^2$x$^o$ + 7sin$^o$ + 12 = 0 mempunyai penyelesaian?
Penyelesaian
Misalkan sinx$^o$ = p, maka persamaanya dapat dtulis menjadi
p$^2$ + 7p + 12 = 0
D = b$^2$ - 4ac
D = 7$^2$ - 4(1)(12)
D = 49 - 48
D = 1 (D > 0, syarat perlu terpenuhi)

p$^2$ + 7p + 12 = 0
(p + 4)(p + 3) = 0
p + 4 = 0 atau p + 3 = 0
p = -4              p = -3
Nilai p < -1 (Syarat cukup tidak terpenuhi)
Maka, dapat disimpulkan jika persamaan sin$^2$x$^o$ + 7sin$^o$ + 12 = 0 tidak mempunyai penyelesaian.

Jika telah memahami syarat tersebut, sekarang kita lanjutkan dengan contoh soal persamaan kuadrat dalam bentuk trigonometri yang dapat diselesaikan.
Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri cos$^2$x$^o$ - cos$^o$ - 2 = 0 dalam interval 0 ≤ x ≤ 360!

Penyelesaian
Misalkan cosx$^o$ = p maka persamaanya dapat ditulis menjadi
p$^2$ - p - 2 = 0
(p + 1)(p - 2) = 0
p = -1 atau p = 2
Jika p = -1, maka
cosx$^o$ = -1
cosx$^o$ = cos 180$^o$
Untuk, x = 180$^o$ + k × 360$^o$
k = 0 → x = 180$^o$ + 0 × 360$^o$ = 180$^o$
Untuk, x = -180$^o$ + k × 360$^o$
k = 1 → x = -180$^o$ + 1 × 360$^o$ = 180$^o$

Jika p = -2, maka tidak memenuhi karena p < -1 (syarat cukup tidak terpenuhi)
Jadi, penyelesaiannya adalah {180$^o$}

Selain, bentuk-bentuk persamaan, seperti di atas ada beberapa kasus yang mengharuskan kita untuk mengubah  suatu persmaan trigonometri yang dapat diubah menjadi persmaan kuadrat dalam sinus, cosinus, dan tangen. Untuk mempermudah mengubah persmaan yang demikian maka kita dapat menggunakan beberapa rumus trigonometri berikut.
  1. sin x$^o$ =  $\frac{1}{cosec x^o}$
  2. cos x$^o$ =  $\frac{1}{sec x^o}$
  3. tan x$^o$ =  $\frac{1}{tan x^o}$
  4. tan x$^o$ =  $\frac{sin x^o}{cos x^o}$
  5. cot x$^o$ =  $\frac{cos x^o}{sin x^o}$
  6. sin$^2$x$^o$ + cos$^2$x$^o$ = 1
  7. 1 + tan$^2$ x$^o$ = sec$^2$ x$^o$
  8. 1 +  cot$^2$ x$^o$ = cosec$^2$ x$^o$
  9. sin 2x$^o$ = 2sin x$^o$cos x$^o$
  10. cos 2x$^o$ = cos$^2$ x$^o$ - sin$^2$ x$^o$
  11. cos 2x$^o$ = 1 - 2sin$^2$ x$^o$
  12. cos 2x$^o$ = 2cos$^2$ x$^o$ - 1
  13. tan 2x$^o$ = $\frac{2tan x^o}{1 - tan^2 x^o}$
Untuk lebih jelasnya, berikut akan disajikan contoh soal persamaan trigonometri beserta penyelesaiannya

Contoh 2
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri cos 2x$^o$ - 3sin x$^o$ - 1 = 0 dalam interval 0 ≤ x ≤ 360!

Penyelesaian
cos 2x$^o$ - 3sin x$^o$ - 1 = 0
1 - 2sin$^2$ x$^o$ - 3sin x$^o$ - 1 = 0
- 2sin$^2$ x$^o$ - 3sin x$^o$ = 0
- sin x$^o$ (2sin x$^o$ + 3) = 0
(tidak dilakukan pemisalan p, karena persamaan sudah sederhana)
-sin x$^o$ = 0 atau  2sin x$^o$ + 3 = 0
sin x$^o$ = 0            sin x$^o$ = -$\frac{3}{2}$
Jika, sin x$^o$ = 0 maka sin x$^o$ = 0$^o$
Untuk, x = 0$^o$ + k × 360$^o$
k = 0 → x = 0$^o$ + 0 × 360$^o$ = 0$^o$
k = 1  → x = 0$^o$ + 1 × 360$^o$ = 360$^o$
Untuk, x = (180$^o$ - 0$^o$) + k × 360$^o$
k = 0 → x =(180$^o$ - 0$^o$) + 0 × 360$^o$ = 180$^o$
Jika sin x$^o$ = -$\frac{3}{2}$, persamaan tidak mempunyai penyelesaian karena sin x$^o$ < -1
Jadi, himpunan penyelesaianya adalah {0$^o$, 180$^o$, 360$^o$}

Contoh 3
Tentukan Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri 2cos$^2$ 2x$^o$ + 2sin$^2$ x$^o$ - 1 = 0 dalam interval 0 ≤ x ≤ 2𝞹!

Penyelesaian
2cos$^2$ 2x$^o$ + 2sin$^2$ x$^o$ - 1 = 0
2cos$^2$ 2x$^o$ - (1 - 2sin$^2$ x$^o$) = 0
2cos$^2$ 2x$^o$ - cos$^2$ 2x$^o$ = 0
cos 2x$^o$(2cos 2x$^o$ - 1) = 0
cos 2x$^o$ = 0 atau cos 2x$^o$ = $\frac{1}{2}$
Jika cos 2x$^o$ = 0 maka cos 2x$^o$ = $\frac{𝞹}{2}$
Untuk 2x = $\frac{𝞹}{2}$ + k × 2𝞹 atau x = $\frac{𝞹}{4}$ + k × 𝞹
k = 0 → x = $\frac{𝞹}{4}$ + 0 × 𝞹 = $\frac{𝞹}{4}$
k = 1  → x = $\frac{𝞹}{4}$ + 1 × 𝞹 = $\frac{5𝞹}{4}$
Untuk 2x = -$\frac{𝞹}{2}$ + k × 2𝞹 atau x = -$\frac{𝞹}{4}$ + k × 𝞹
k = 1 → x = -$\frac{𝞹}{4}$ + 1 × 𝞹 = $\frac{3𝞹}{4}$
k = 2  → x = -$\frac{𝞹}{4}$ + 2 × 𝞹 = $\frac{7𝞹}{4}$

Jika cos 2x$^o$ = $\frac{1}{2}$ maka cos 2x$^o$ = $\frac{𝞹}{3}$
Untuk 2x = $\frac{𝞹}{3}$ + k × 2𝞹 atau x = $\frac{𝞹}{6}$ + k × 𝞹
k = 0 → x = $\frac{𝞹}{6}$ + 0 × 𝞹 = $\frac{𝞹}{6}$
k = 1  → x = $\frac{𝞹}{6}$ + 1 × 𝞹 = $\frac{7𝞹}{6}$
Untuk 2x = -$\frac{𝞹}{3}$ + k × 2𝞹 atau x = -$\frac{𝞹}{6}$ + k × 𝞹
k = 1 → x = -$\frac{𝞹}{6}$ + 1 × 𝞹 = $\frac{5𝞹}{6}$
k = 2  → x = -$\frac{𝞹}{6}$ + 2 × 𝞹 = $\frac{11𝞹}{6}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {$\frac{𝞹}{6}$, $\frac{𝞹}{4}$, $\frac{3𝞹}{4}$, $\frac{5𝞹}{6}$, $\frac{7𝞹}{6}$, $\frac{5𝞹}{4}$, $\frac{7𝞹}{4}$, $\frac{11𝞹}{6}$}

Contoh 4
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri tan x$^o$ + cot x$^o$ = -2 dalam interval 0 ≤ x ≤ 360!

Penyelesaian
tan x$^o$ + cot x$^o$ = -2
tan x$^o$ + $\frac{1}{tan x^o}$ = -2
tan$^2$ x$^o$ + 1 = -2tan x$^o$
tan$^2$ x$^o$ + 2tan x$^o$ + 1 = 0
(tan x$^o$ + 1)$^2$ = 0
tan x$^o$ + 1 = 0
tan x$^o$ = -1
tan x$^o$ = 135$^o$
x =  135$^o$ + k × 180$^o$
k = 0 → x = 135$^o$ + 0 × 180$^o$ = 135$^o$
k = 1  → x = 135$^o$ + 1 × 180$^o$ = 315$^o$
Jadi, himpunan penyelesaianya adalah {135$^o$, 315$^o$}

Demikianlah tadi mengenai Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dalam Sinus, Kosinus, dan Tangen, semoga bermanfaat.

Menyelesaikan Masalah Program Linear Dengan Metode Garis Selidik

Menentukkan nilai optimum (maksimum dan minimum) fungsi objektif suatu program linear dapat menggunakan uji titik pojok. Dalam metode uji titik pojok, tiap titik pojok (x, y) yang terletak pada daerah himpunan penyelesaian disubstitusikan ke fungsi tujuan ax + by. Dari hasil perhitungan tadi, kemudian dipilih nilai maksimum maupun nilai minimum bentuk objektif ax + by.

Selain menggunakan metode uji titik pojok, kita juga dapat menggunakan metode Garis Selidik. kita dapat menggunakan metode Garis Selidik. Garis Selidik adalah grafik persamaan dari fungsi tujuan yang digunakan untuk menentukan solusi optimum. Untuk lebih memahami garis selidik perhatikan gambar berikut
Keempat garis pada gambar menggambarkan garis-garis selidik atau dikenal pula dengan garis keuntungan dengan k$_1$ < k$_2$ < k$_3$ < k$_4$. Keempat garis merupakan garis-garis yang sejajar. Dalam masalah program linear, pada umumnya titik yang dilalui garis selidik yang letaknya melalui atau paling dekat dengan titik pangkal (0, 0) maka kita akan mendapatkan nilai fungsi objektif yang minimum. Dan sebaliknya, titik yang garis selidik yang paling jauh dari titik pangkal, maka kita akan mendapatkan nilai fungsi objektif yang maksimum. Dengan kata lain, semakin besar nilai k maka kita akan mendapatkan solusi maksimum sedangkan semakin kecil nilai k maka kita akan mendapatkan solusi minimum.

Nah, sekarang coba perhatikan gambar berikut!
Garis manakah yang akan memberikan solusi maksimum? Tentu jawabanya adalah garis ax + by = k$_3$. Garis ax + by = k$_3$ melalui titik P(x$_1$, y$_1$) yang berada dalam daerah penyelesaian sehingga, (a, b) merupakan solusi yang menyebabkan fungsi objektif/tujuan menjadi maksimum.

Bagaimana caranya menggambar garis selidik? Jika fungsi objektifnya f(x, y) = ax + by, maka garis selidiknya adalah ax + by = k dengan k adalah bilangan real. Untuk memudahkan persamaan garis selidik dapat kita tentukan yaitu ax + by = ab dimana k = ab. Dengan demikian akan lebih mudah menggambar garis selidiknya karena titik potong garis selidik dengan sumbu x adalah (b, 0) dan titik potong sumbu y-nya adalah (0, a).

Dari uraian di atas kita dapat membuat langkah-langkah penyelesaian masalah program linear dengan metode Garis Selidik yaitu:

  1. Tentukan model matematika dari masalah program linear yang akan kita selesaikan dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear
  2. Lukis/gambar pertidaksamaan dan tentukan daerah penyelesaianya
  3. Buat garis selidik ax + by = k, sesuai dengan fungsi objektif f(x, y) = ax + by dan temukan solusi optimumnya (maksimum atau minimum)
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut!

Contoh 1
Diketahui
3x + y ≤ 15
x + 2y ≤ 10
x ≥ 0
y ≥ 0
Tentukan nilai maksimum dari fungsi objektif f(x, y) = 2x + 5y

Penyelesaian
3x + y ≤ 15
x + 2y ≤ 10
x ≥ 0
y ≥ 0
f(x, y) = 2x + 5y
Catatan:
Jika belum paham menggambar sistem pertidaksamaan linear dua variabel silahkan baca artikel Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel. Untuk menentukan titik potong garis dapat menggunakan metode Eliminasi Substitusi

Kemudian buat garis selidik 2x + 5y = 10, kemudian geser ke atas garis selidik tersebut. Dari gambar terlihat bahwa garis yang sejajar garis selidik 2x + 5y =10 dan terletak paling jauh dari titik pangkal melalui titik (0, 5) yang termasuk himpunan penyelesaian. Sehingga, titik (0, 5) menyebabkan fungsi objektif menjadi maksimum yaitu:
f(0, 5) = 2(0) + 5(5) = 25
Jadi, nilai maksimum dari fungsi objektifnya adalah 25

Contoh 2
Pak Agus hendak mengangkut 60 ton barang dari gudang ke tokonya. Untuk itu, ia menyewa dua jenis truk. Truk A berkapasitas 3 ton dan truk B berkapasitas 2 ton. Harga sewa truk A Rp.500.000 dan truk B Rp400.000. Dengan cara sewa demikian, ia harus menyewa truk sekurang-kurangnya 24 buah. Tentukan banyak truk A dan truk B yang harus di sewa Pak Agus agar biayanya menjadi seminimum mungkin!

Penyelesaian
Model Matematika
3x + 2y ≤ 60
x + y ≥ 24
x ≥ 0
y ≥ 0
f(x, y) = 500000x + 400000y
Garis selidik 500000x + 400000y = 200000000000 dengan nilai k yang cukup besar dan tentu kita akan kesulitan untuk menggambarnya. Untuk itu, nilai k yang digunakan k = 2000000, garis selidiknya menjadi 500000x + 400000y = 2000000 atau apabila disederhanakan dengan membagi kedua ruas 100000 maka kita dapatkan garis selidik 5x + 4y = 20.

Setelah digeser didapatlah garis yang sejajar dengan garis 5x + 4y = 20 dan paling dekat dengan titik  pangkal serta titik yang dilaluinya adalah titik (20, 0). Sehingga titik (20, 0) akan memberikan solusi minimum
f(20, 0) = 500000(20) + 400000(0) = 1000000
Jadi, agar biaya menjadi minimum pak Agus harus menyewa 20 unit truk A dan tidak menyewa truk B dengan biaya sebesar Rp10.000.000

Pada prakteknya nanti, untuk memudahkan penentuan solusi optimum dengan menggunakan garis selidik anda dapat membuat garis selidik dan kemudian taruhlah penggaris sejajar dengan garis dan kemudian geser ke atas atau ke bawah untuk menemukan solusi optimum yang anda cari.

Kelemahan dari metode ini, adalah soal-soal yang memuat gambar  kadang-kadang tidak digambar dengan baik sehingga hasil yang didapatkan belum tentu benar. Untuk itu kita harus menggambar ulang secara manual tentunya dengan teliti dan benar. Dalam hal ini diperlukan keterampilan menggambarkan pertidaksamaan dan menentukan daerah penyelesaianya. Sehingga, hasil yang didapatkan diharapkan menjadi benar.

Jika dengan metode ini anda masih ragu dengan hasil yang didapatkan, anda dapat menggunakan metode Uji Titik Pojok. Namun, metode Uji Titik Pojok memerlukan langkah yang cukup panjang.

Menyelesaikan Masalah Program Linear dengan Metode Uji Titik Pojok

Program linear berkembang dan ditemukan oleh beberapa matematikawan pada masa sebelum Perang Dunia ke-II. Pengembangan  program linear pada masa tersebut rata – rata didasarkan karena persoalan atau masalah yang sedang berkembang saat itu, yaitu dalam hal industri dan peperangan. Program linear adalah suatu metode atau suatu cara yang digunakan untuk memecahkan masalah menjadi optimal (maksimum atau minimum). Program linear atau juga disebut dengan optimasi linear adalah suatu program yang digunakan untuk memecahkan masalah-masalah optimasi. Dalam program linear,  batasan-batasan atau kendala diubah atau diterjemahkan ke dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear. Nilai-nilai peubah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear mempunyai berbagai macam kemungkinan penyelesaian. Dari berbagai kemungkinan tersebut terdapat penyelesaian yang memberikan hasil yang terbaik yang disebut dengan penyelesaian optimum (minimum atau maksimum). Sehingga, tergambar jelas jika program linear digunakan untuk menemukan solusi terbaik atau optimum dari suatu ungsi tujuan (fungsi objektif).

Dari uraian di atas, diketahui bahwa program linear sangat erat kaitanya dengan sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Selain itu, dalam program linear diperlukan kemampuan dalam menafsirkan permasalahan menjadi kalimat matematika atau yang dikenal dengan model mateematika. Model matematika adalah rumusan matematika yang berupa persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi yang diperoleh dari hasil penafsiran atau terjemahan suatu masalah ke dalam bahasa matematika. Sebenarnya model matematika telah diperkenalkan pada materi sistem persamaan linear dua variabel. Pada program linear, kita akan lebih banyak menafsirkan permasalahan menjadi bentuk sistem pertidaksamaan linear. Berikut ini adalah contoh pembuatan model matematika

Pak Ahok membeli 3 buku tulis dan 5 pensil dengan harga Rp11.000 di toko ATK Indonesia. Pada toko yang sama Pak Jokowi juga membeli 4 buku tulis dan sebuah pensil dan mebayar Rp9.000. Jika Pak Prabowo ingin membeli 5 buku tulis dan 5 pensil pada toko tersebut, berapa ia harus membayar?

Dilihat dari pertanyaanya, yang ditanyakan adalah uang yang harus dibayarkan untuk membeli 5 buku tulis dan 5 pensil. Sehingga kita harus tahu berapa harga sebuah buku tulis dan harga sebuah pensil. Untuk memudahkan penulisannya kita misalkan x adalah harga sebah buku tulis dan y adalah harga sebuah pensil.
Dari Pak Ahok kita medapatkan hubungan
3x + 5y = 11000
Sedangkan, dari Pak Jokowi kita mendapat hubungan
4x + y = 9000
dan dari Pak Prabowo
5x + 5y = ....?
Dengan demikian kita mendapatkan model matematikanya
3x + 5y = 11000
4x + y = 9000

Nah, sekarang kita akan membahas model matematika untuk masalah program linear. Berikut adalah contoh permasalahan yang berkaitan dengan program linear.
Seorang pedagang  kue mendapat keuntungan Rp500 untuk kue Apem yang harga belinya Rp1.000  per buahdan mendapat keuntungan Rp400 untuk kue Naga Sari yang harga belinya Rp800 per buah. Modal yang dimiliki pedagang tersebut adalah Rp500.000. Sedangkan, kapasitas tempat penjualan kue hanya dapat menampung 550 kue. Berapa banyak kue Apem dan kue Naga Sari yang harus dibeli pedagang agar mendapat keuntungan sebesar-besarnya? dan berapakah keuntungan maksimunya?

Dari soal diperoleh bahwa
Misalkan x = banyak kue apem yang harus dibeli dan y = banyak kue naga sari yang harus dibeli, Kendala-kendala dalam masalah di atas dapat disajikan dalam tabel berikut

Untuk harga kue karena modal yang tersedia hanya Rp500.000, maka tanda yang pas untuk menggambarkan kendala tersebut adalah tanda "kurang dari" atau ≤, sehingga diperoleh pertidaksamaan
1000x + 800y ≤ 500000 atau 5x + 4y ≤ 2500
Sedangkan, daya tampung yang tersedia hanya 550 kg, jadi tanda yang pas digunakan adalah "kurang dari" atau ≤
x + y ≤ 550

Dengan demikan diperoleh model matematika untuk permasalahan di atas adalah
5x + 4y ≤ 2500
x + y ≤ 550
x ≥ 0
y ≥ 0
Dengan fungsi objektif
f(x, y) = 500x + 400y

x ≥ 0 dan y ≥ 0 dikenal sebagai kendala non negatif, karena bisa dibayangkan x yaitu banyak kue Apem dan y yaitu banyak kue Naga Sari  tidak mungkin bernilai negatif.

Dari contoh yang terakhir, tentu yang dicari adalah nilai optimum dari fungsi objektif. Untuk menentukan nilai optimumnya kita dapat menggunakan beberapa metode yaitu Metode Uji Titik Pojok, Metode Garis Selidik dan Metode Simpleks. Namun yang akan dibahas pada halaman ini hanya menggunakan Metode Uji Titik Pojok. Pada dasarnya metode apappun yang digunakan hakikatnya adalah mencoba-coba secara manual untuk menentukan nilai optimu dari suatu fungsi objektif. Untuk menggunakan Metode Uji Titik Pojok perhatikan  contoh berikut

Contoh 1
Diketahui model matematika dengan sistem pertidaksamaan
x + 4y ≤ 240
x + y ≤ 120
x ≥ 0
y ≥ 0
Fungsi Objektif : 20x + 30y
Tentukan nilai maksimum dari fungsi objektif tersebut!

Penyelesaian
Langkah pertama kita harus menggambar dan menentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas. Anda dapat mempelajarai cara menggambar grafik dan menentukan daerah penyelesaiannya pada artikel Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel. Namun, kali ini yang menjadi daerah penyelesaian adalah daerah yang diarsir bukan daerah bersih seperti pada artikel Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel. Nah, langsung saja berikut adalah gambarnya
Kemudian kita tentukan titik-titik pojok dari daerah penyelesaianya. Untuk menentukan titik potong garis x + 4y = 240 dan x + y = 120, kita dapat menggunakan metode Eliminasi Substitusi
Eliminasi x

Substitusi y = 40 ke persamaan x + y = 120
x + 40 = 120
x = 80
Jadi, titik potongnya (80, 40)
Dengan demikian diperoleh empat titik pojok yaitu (0, 0), (120, 0), (80, 40), dan (0, 60). Kemudian kita cari titik yang menyebabkan fungsi objektif menjadi maksimum

Jadi, nilai maksimum dari fungsi objektif : 20x + 30 y adalah 2800

Contoh 2
Seorang pedagang buah-buahan menggunakan gerobak untuk menjual Apel dan Pisang. Harga pebelian Apel Rp20.000 per kg dan Pisang Rp8.000 per kg. Modal yang tersedia Rp5.000.000. Sedangkan muatan gerobaknya tidak dapat melebihi 400 kg. Keuntungan Apel Rp3.000 per kg sedangkan Pisang Rp2.000. Agar pedagang mendapat keuntungan sebesar-besarnya, berapa banyak Apel dan Pisang yang harus dibeli pedagang?

Penyelesaian:
Misalkan harga 1 kg Apel = x dan harga 1 kg Pisang = y, maka diperoleh
20000x + 8000y ≤ 5000000 atau 5x + 2y ≤ 1250
x + y ≤ 400
x ≥ 0
y ≥ 0
Fungsi Objektif : 3000x + 2000y
Gambar grafik
Titik potong garis 5x + 2y =1250 dan x + y = 400 dapat ditentukan dengan
Eliminasi x

Substitusi x = 150 ke persamaan x + y = 400
150 + y = 400
y = 250
Jadi, titik potongnya (150, 250)
Sehingga, diperoleh empat titik pojok (0, 0), (250, 0), (150, 250), dan (0, 400).

Dari tabel terlihat bahwa fungsi objektif maksimum sebesar 950000. Dengan kata lain hal itu menunjukkan keuntungan paling besar yang dapat diperoleh pedagang. Jadi, banyak Apel dan Pisang yang harus dibeli agar pedagang mendapat keuntungan mmaksimum berturut-turut adalah 150 kg dan 250 kg.

Demikian tadi mengenai, menyelesaikan masalah program linear dengan menggunakan metode uji titik pojok. Semoga dapat dipahami dan bermanfaat.

Soal Latihan UAS Kelas 9 Kurikulum 2013 Semester Ganjil 2016/2017

Mendekati Ulangan Akhir Semester Ganjil tahun pelajaran 2016/2017 yang akan dilaksanakan oleh masing-masing satuan pendidikan. Kali ini, madematika akan berbagi soal latihan UAS untuk kelas 9 SMP. Soal ini khusus untuk kurikulum 2013. Soal dibuat dalam format file .pdf  dan file sudah diatur sedemikian rupa dengan ukuran font 10 Time New Roman sehingga soal hanya terdiri dari 3 halaman. Hal ini bertujuan agar para penggunanya dapat menggunakan tanpa harus khawatir menghabskan banyak kertas

Bentuk soal berupa pilihan ganda sebanyak 40 butir. Materi soal diambil berdasarkan materi semester ganjil kelas 9 yang menggunakan kurikulum 2013. Materi yang dimaksud terdiri dari 6 BAB yaitu

  1. Perpangkatan dan Bentuk Akar
  2. Pola, Barisan dan Deret
  3. Perbandingan Bertingkat
  4. Kesebangunan dan Kekongruenan
  5. Bangun Ruang Sisi Lengkung
  6. Statistika
Untuk mendapatkan soal silahkan kunjungi tautan ini.

Semoga bermanfaat