Geometri Transformasi: Dilatasi

Transformasi yang keempat dalam geometri transformasi adalah dilatasi. Istilah dilatasi tidak hanya dikenal dalam matematika. Dilatasi juga dikenal dalam bidang kesehatan serta dalam bidang arsitektur. Dalam ilmu kesehatan, dilatasi merupakan pelebaran atau peregangan struktur tubular. Contoh dilatasi dalam bidang kesehatan adalah dilatasi pembuluh darah oleh obat-obatan yang dimaksudkan untuk menurunkan tekanan darah. Pada bidang arsitektur, dilatasi adalah sebuah sambungan/garis pada sebuah bangunan yang karena sesuatu hal memiliki sistem struktur berbeda.

Dilatasi dalam matematika sering juga disebut dengan perkalian. Dilatasi adalah suatu transformasi yang merubah ukuran baik itu memperbesar atau memperkecil suatu bangun, namun tidak mengubah bentuk bangunnya. Dengan demikian dilatasi dikatakan sebagai transformasi non isometri tidak seperti transformasi lainnya yaitu translasi, refleksi dan rotasi.

Dilatasi ditentukan oleh titik pusat dan faktor (faktor skala) dilatasi serta dilatasi memiliki sifat-sifat sebagai berikut

  • Invers dari dilatasi AB --> A' B' adalah A' B' --> AB
  • Dilatasi tidak mempertahankan ukuran, namun tetap mempertahankan urutan
  • Hasil kali dilatasi merupakan dilatasi yang dilanjutkan dengan dilatasi yang lain. Dengan demikian, hasil kali dilatasi AB--> A'B' dan A'B'--> A''B'' adalah dilatasi AB--> A''B''. Jadi hasil kali dilatasi dengan inversnya adalah identitas AB-->AB
  • Garis-garis yang menghubungkan suatu titik dan bayangannya disebut garis invariant. Garis-garis tersebut berpotongan pada satu titik atau sejajar


Faktor skala dalam dilatasi sering disimbolkan dengan "k" yang merupakan perbandingan antara jarak titik bayangan dari titik pusat dilatasi dan jarak titik benda berkaitan dengan titik pusat dilatasi. Pada dilatasi suatu bangun faktor skala k akan menentukan ukuran dan letak bangun bayangan. Berikut adalah nilai k yang dimaksud

  1. Jika k > 1, maka  bayangan diperbesar dan letaknya sepihak dengan pusat dilatasi dan bangun semula.
  2. Jika 0 < k < 1, maka bangun bayangan diperkecil dan letaknya sepihak dengan pusat dilatasi dan bangun semula.
  3. Jika -1 < k < 0, maka bangun bayangan diperkecil dan letaknya berlainan pihak dengan pusat dilatasi dan bangun semula.
  4. Jika k < -1, maka bangun bayangan diperbesar dan letaknya berlainan dengan pusat dilatasi dan bangun semula.
Seperti yang sebelumnya telah dijelaskan dilatasi dipengaruhi juga oleh titik pusat dilatasi. Berdasarkan pusatnya maka dilatasi dapat dibedakan menjadi dua yaitu dilatasi terhadap titik pusat O(0, 0) dan A(a, b)

Dilatasi Terhadap Titik Pusat O(0, 0)

Dilatasi titik P(x, y) terhadap titik pusat O(0,0) akan menghasilkan bayangan titik P'(x', y') dimana x' = kx dan y' = ky. Secara matematis dilatasi tersebut dapat ditulis

$A(a, b) \xrightarrow[]{[O, k]} A'(kx, ky)$
Sedangkan, matriks yang bersesuaian dengan transformasinya dapat ditulis
$\begin{pmatrix}
x'\\ y'

\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
k &0 \\
0 & k
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\ y

\end{pmatrix}$

Dilatasi Terhadap Titik A(a, b)

Dilatasi titik P(x, y) terhadap titik A(a, b) akan menghasilkan bayangan titik P'(x', y') dimana x' = k(x - a) + a dan y' = k(y - b) + b. Secara matematis dilatasi tersebut dapat ditulis
$A(a, b)$ $ \xrightarrow[]{[A(a, b), k]}$ $A'(k(x - a) + a, k(y - b) + b)$
Sedangkan, matriks yang bersesuaian dengan transformasinya dapat ditulis
$\begin{pmatrix}
x'\\ y'

\end{pmatrix}$= $\begin{pmatrix}
k &0 \\
0 & k
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x - a\\ y - b

\end{pmatrix}$+$\begin{pmatrix}
a\\ b

\end{pmatrix}$

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut

Contoh 1
Tentukan bayangan titik (3, 9) oleh dilatasi [A(1, 5), 2]!
Penyelesaian
Karena pusat A(1, 5), maka
x' = k(x - a) + a
x' = 2(3 - 1) + 1
x' = 5

y' = k(y - b) + b
y' = 2(9 - 5) + 5
y' = 13

Jadi, bayangangannya adalah (5, 13)

Contoh 2
Bayangan kurva y = 3x$^{2}$ + 6x - 1 oleh dilatasi dengan pusat O(0, 0) dan faktor skala 3 adalah ...
Penyelesaian
Karena pusat O(0,0)maka
x' = kx
x' = 3x maka x = $\frac{1}{3}$x'

y' = ky
y' = 3y maka y =  $\frac{1}{3}$y'

Substitusikan x dan y ke dalam persamaan kurva
$\frac{1}{3}$ y' = 3$(\frac{1}{3}$x'$)^{2}$ + 6$\times$$\frac{1}{3}$x' - 1
$\frac{1}{3}$ y' = 3$\times$$\frac{1}{9}$x'$^{2}$ + 2x' - 1
$\frac{1}{3}$ y' = $\frac{1}{3}$x'$^{2}$ + 2x' - 1
y' = x'$^{2}$ + 6x' - 3
Jadi, bayangan kurva adalah y = x$^{2}$ + 6x - 3

Terima kasih atas komentar yang telah anda berikan
EmoticonEmoticon