Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Cara termudah dalam menentukan himpunan penyelesaian dari suatu persamaan kuadrat adalah yaitu dengan memfaktorkan (Baca : Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Dengan Memfaktorkan). Namun, ada kalanya suatu persamaan kuadrat tidak dapat kita faktorkan. Untuk itu, kita harus mencari cara lain guna mendapatkan penyelesaian dari persamaan kuadrat tersebut.

Ada dua cara lagi dalam mencari penyelesaian suatu persamaan kuadrat yaitu, dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna dan dengan menggunakan rumus abc atau disebut juga rumus kuadrat. Pada postingan kali ini kita akan membahas bagaimana menyelesaikan suatu persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna atau dengan kata lain kita akan mencari akar-akar suatu persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna. Namun, sebelumnya kita harus memahami bentuk-bentuk aljabar suku dua yang tergolong bentuk kuadrat sempurna. Sekarang coba perhatikan bentuk aljabar suku dua berikut

(x + p) dan (x - p)

Dua bentuk aljabar tersebut apabila kita kuadratkan kita akan mendapatkan bentuk
(x + p)2 = x2 + 2px + p2
dan
(x – p)2 = x2 – 2p + p2

Dari kedua bentuk tersebut terlihat bahwa suku terakhir ruas kanan, yaitu p2 adalah setengah dari koefisien x dikuadratkan. 

Dengan mengetahui hal tersebut kita dapat menggunakannya untuk menjadikan suatu persamaan kudrat menjadi bentuk kuadrat sempurna. Misalkan bentuk x2 + bx atau x2 – bx untuk menjadikan bentuk-bentuk tersebut menjadi kuadrat sempurna kita perlu melengkapkannya dengan menambahkan setengah dari koefisien x dikuadratkan yaitu (½b)2. Dengan demikian diperoleh
x2 + bx + (½ b)2 = (x + ½ b)2
dan
x2 – bx + ( ½ b)2 = ( x – ½ b)2

Hal ini merupakan kunci dari penyelesaian persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna.

Untuk memahami cara menentukan penyelesaian suatu persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna perhatikan contoh berikut:

Dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat x2 + 6x + 2 = 0

Penyelesaian:
x2 + 6x + 2 = 0
Pertama kita pindahkan konstanta pada persamaan kuadrat tersebut ke ruas kanan sehingga
x2 + 6x = -2
Sekarang, pehatikan bahwa nilai b = 6 sehingga ( ½ b)2 = 32 , dengan demikian kedua ruas kita ambahkan dengan 32 dan menjadi
x2 + 6x + 32 = -2 + 32
x2 + 6x + 32 = 7
(x + 3)2 = 7
(x + 3) = ±  
x = -3 ±  
Jadi, akar-akar dari persamaan kuadrat x2 + 6x + 2 = 0 adalah x = -3 +   atau x = -3 -  

Dalam beberapa kasus, kita perlu menambahkan beberapa langkah lagi agar cara melengkapkan kuadrat sempurna ini bisa kita gunakan. Seperti misalnya, menentukan akar-akar persamaan kuadrat yang ternyata nilai a atau koefisien x2 bernilai tidak sama dengan 1 ( a ¹ 1). Dalam kasus tersbut kita manipulasi agar a atau koefisien x2 bernilai 1 yaitu dengan membagi atau mengalikan kedua ruas dengan bilangan yang bernilai tertentu agar koefisien x2 menjadi bernilai 1. Untuk lebih memahaminya perhatikan contoh berikut

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 2x2 – 4x – 3 = 0 dengan menggunakan cara melengkapkan kuadrat sempurna!

Penyelesaian
2x2 – 4x – 3 = 0
Persamaan di atas memiliki nilai a = 2, untuk menjadikan nilai a menjadi 1 maka kita bagi kedua ruas dengan 2 sehingga didapat
x2 – 2x – 3/2 = 0
Sekarang, kita bisa memulai langkah-langkah menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan melengkapkan kaudrat sempurna sama seperti langkah-langkah pada contoh sebelumnya.
Pidahkan konstanta ke ruas kanan sehingga
x2 – 2x = 3/2
Nilai b = 2 maka ( ½ b)2 = 12. Tambahkan kedua ruas dengan 12 diperoleh
x2 – 2x + 12 = 3/2 + 12
(x – 1)2 = 3/2 + 1
(x - 1)2 = 5/2
x – 1 = ±
x = 1 ±
Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 2x2 – 4x – 3 = 0 adalah x = 1 + akar  atau x = 1 - 

Nah, demikianlah cara menyelesaikan suatu persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna semoga bisa dipahami dan semoga bermanfaat :)

Terima kasih atas komentar yang telah anda berikan
EmoticonEmoticon