Himpunan Bagian dan Himpunan Kuasa

Himpunan Bagian

Himpunan A disebut sebagai himpunan bagian (subset) dari B jika setiap anggota A juga menjadi anggota himpunan B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A lambang yang menyatakan himpunan bagian adalahÍ”.  Dengan diagram venn
Himpunan Bagian

Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:
(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A Í A).
(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A (Æ Í A).
(c) Jika A Í B dan B Í C, maka A Í C
Dalam himpunan bagian dikenal juga istilah Himpunan Bagian Tak Sebenarnya (Improper Subset) dan Himpunan Bagian Sebenarnya (Proper Subset)
Jika Æ Í A dan A Í  A, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A.
Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan Æ adalah improper subset dari A.

A Í B berbeda dengan A Ì B
A Ì B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A ¹ B. A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B.
Contoh: {1} dan {2, 3} adalah  proper subset dari {1, 2, 3}
A Í B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah  himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B

Apabila banyaknya anggota himpunan adalah n buah, maka banyaknya himpunan bagian dari himpunan tersebut sama dengan 2n. Banyaknya himpunan bagian juga dapat ditentukan dengan menggunakan segitiga pascal yaitu

1
Untuk himpunan degan 0 anggota (n = 0)
1
1
Untuk himpunan degan 1 anggota (n = 1)
1
2
1
Untuk himpunan degan 2 anggota (n = 2)
1
3
3
1
Untuk himpunan degan 3 anggota (n = 3)
1
4
6
4
1
Untuk himpunan degan 4 anggota (n = 4)
1
5
10
10
5
1
Untuk himpunan degan 5 anggota (n = 5)
dst
dst

Contoh:
Tentukan banyaknya himpunan bagian dan tuliskan semua himpunan bagian dari himpunan-himpunan berikut
a. H = {h, i, a, t}
b. A = {1, 2, 3, 4, 5,}
Jawab:
Banyaknya himpunan bagian H = 16
Himpunan bagian dari H adalah { }, {h}, {i}, {a}, {t}, {h, i}, {h, a}, {h, t}, {i,a}, {i, t}, {a, t}, {h, i, a}, {h, i, t}, {h, a, t}, {i, a, t}, {h, i, a, t}

Banyaknya himpunan bagian A = 32 
Himpunan bagian dari A adalah { }, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,5}, {1,3,4}, { 1,3,5}, {1,4,5},   {2,3,4}, {2,3,5}, {2,4,5}, {3,4,5}, {1,2,3,4}, {1,2,3,5}, {1,2,4,5}, {1,3,4,5}, {{2,3,4,5}, {1,2,3,4,5}

Himpunan Kuasa

Himpunan Kuasa (power set) himpunan A adalah himpunan-himpunan bagian dari A termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri, dilambangkan dengan P(A). Banyak anggota himpunan kuasa dari himpunan A dilambangkan dengan n(P(A)).

Contoh:
Jika B = {1, 2, 3} maka himpunan kuasanya adalah: {{  }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

Semoga bermanfaat :)

Terima kasih atas komentar yang telah anda berikan
EmoticonEmoticon