Penerapan Fungsi Eksponen Dalam Bidang Ekonomi

Fungsi pertumbuhan merupakan salah satu contoh aplikasi fungsi eksponen dalam bidang ekonomi. Sifat utama fungsi ini adalah meningkat secara monoton. Fungsi pertumbuhan mempunyai beberapa bentuk, dengan atau tanpa asimtut yang merupakan batas atas.

Dalam karya tulis ini fungsi pertumbuhan yang dimaksud hanya terbatas pada fungsi bunga majemuk, pertumbuhan penduduk atau biologis, kurva (fungsi) Gompertz, dan kurva (fungsi) pengajaran.

1. Fungsi Bunga Majemuk

Besarnya modal yang dibungakan tergantung dari waktu lamanya modal dibungakan asal tingkat bunga konstan. Jika modal (pokok) sebesar clip_image002[4] dibungakan clip_image004 kali per tahun dengan bunga sebesar 100clip_image006% (atau r) per tahun maka setelah clip_image008 tahun, modal tersebut akan menjadi:

clip_image010

Apabila clip_image004[1] sangat besar yaitu clip_image012, maksudnya bunga yang dibayarkan secara kontinyu atau bunga ditambahkan terus menerus terhadap modal, maka persamaannya akan menjadi:

clip_image014

Dengan,

clip_image002[5] = Modal awal atau besar modal pada tahu yang ke nol.

clip_image016 = Modal akhir atau besar modal pada tahun yang ke clip_image008[1]

clip_image019 = Bilangan basis dalam logaritma natural clip_image021

clip_image004[2] = Kelipatan bunga yang dibayar per tahun

clip_image008[2] = Waktu lamanya modal (pokok) dibungakan

clip_image006[1] = Besarnya bunga per tahun

Jikan fungsi clip_image014[1] dibuat grafiknya, secara umum bentuknya sebagai berikut:

clip_image026

Gambar 02 Grafik Fungsi Bunga Majemuk Dengan clip_image012[1]

Contoh:

Seorang petani membutuhkan uang sebesar 5 juta rupiah pada 10 tahun yang akan datang. Berapa jumlah uang yang harus ditabung mulai sekarang dengan bunga 24% per tahun untuk memperoleh jumlah uang yang diharapkan?

Penyelesaian:

Diketahui: clip_image016[1] = 5000000

clip_image008[3] = 10 tahun

clip_image006[2] = 24 % = 0,24

clip_image004[3] = 1

Ditanyakan:clip_image002[6] = ...?

Jawab:

clip_image010[1]

clip_image028

clip_image030

clip_image032

clip_image034

Jadi, uang yang harus ditabung mulai sekarang sebesar Rp. 581772,49

 

2. Pertumbuhan Penduduk

Bila penduduk suatu negara (daerah) pada suatu saat clip_image036 mengalami pertumbuhan sebesar 100clip_image006[3]% per tahun (atau clip_image006[4] per tahun), maka setelah t tahun, jumlah penduduk menjadi:

clip_image040

Bila suatu negara (daerah) dengan jumlah penduduk yang besar, maka pertumbuhan penduduk berlangsung hampir kontinyu, jumlah penduduk setelah t tahun menjadi:

clip_image042

Misalkan clip_image044 pada persamaan clip_image040[1]sama dengan clip_image046 yaitu clip_image048, maka persamaan di atas dapat dinyatakan sebagai berikut.

clip_image050

clip_image052 = jumlah penduduk pada tahun yang ke t

clip_image036[1] = jumlah penduduk pada tahun awal yaitu tahun yang ke nol

clip_image006[5] = tingkat pertumbuhan

clip_image046[1] = clip_image044[1] = tingkat pertumbuhan ditambah 1

Contoh:

Pada tahun 2001 penduduk sebuah kota adalah 629039 jiwa. Sedangkan pada tahun 2006 jumlah penduduknya adalah 771186 jiwa.

a. Berapa tingkat pertumbuhan penduduk kota tersebut?

b. Perkirakan jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2016!

Penyelesaian:

Diketahui:

 clip_image036[2] = 629039

clip_image052[1] = 771186 (tahun 2006)

t = 5 (dari 2001 sampai dengan 2006)

Ditanyakan:

a. clip_image006[6] = ...?

b. clip_image052[2] = ...? (tahun 2016)

Jawab:

a. clip_image040[2]

clip_image057

clip_image059

clip_image061

clip_image063

clip_image065

clip_image067

clip_image069

clip_image071

b. t = 15 (dari 2001 sampai dengan 2016)

Karena t cukup besar maka untuk mempermudah perhitungan kita gunakan logaritma, sehingga:

clip_image073

clip_image075

clip_image077

clip_image079

clip_image081

clip_image083

clip_image085

clip_image087

clip_image089

clip_image091

clip_image093

clip_image059[1]

clip_image061[1]

clip_image063[1]

clip_image065[1]

clip_image067[1]

clip_image069[1]

clip_image071[1]

 

3. Fungsi Gompertz

Fungsi ini menggambarkan perkembangan yang lambat waktu mulai tumbuh, dan waktu mendekati asimtut batas pertumbuhan. Fungsi ini dinyatakan sebagai berikut.

clip_image095

Keterangan:

clip_image097 = jumlah penduduk pada tahun ke clip_image099

clip_image046[2] = tingkat pertumbuhan (dengan clip_image102)

clip_image104 = proporsi pertumbuhan awal

clip_image106 = tingkat pertumbuhan dewasa (yaitu asimtut tertinggi)

clip_image099[1] = indeks waktu

Sifat utama dari fungsi Gompertz digambarkan dengan dua jenis kurva di bawah ini.

Tipe I: clip_image108

Tipe II: clip_image110

clip_image112

Gambar 03 Kurva Gompertz

Kurva I, untuk nilai clip_image099[2] kecil yang positif kurva cembung tehadap sumbu t (berakselerasi positif) dan untuk nilai clip_image099[3] besar yang positif, kurva cekung tehadap sumbu clip_image099[4] (berakselerasi negatif). Sedangkan kurva II, untuk semua nilai clip_image099[5] positif, kurva cekung terhadap sumbu clip_image099[6] (berakselerasi negatif).

Kurva yang ditemukan Gompertz ini dalam bidang ekonomi digunakan untuk fungsi pendapatan total dan produksi.

Contoh:

Penjualan setiap bulan dari sebuah perusahaan memenuhi fungsi

clip_image114clip_image116

p adalah jumlah pengeluaran untuk promosi dan advertensi. clip_image118 adalah penjumlahan atau omzet setiap bulan.

a. Berapa besar penjualan bila pengeluaran untuk promosi dan advertensi sama dengan nol atau berapa besar penjualan awalnya?

b. Berapa penjualan maksimumnya?

c. Berapa besar penjualannya bila pengeluaran untukpromosi dan avertensi 5?

Penyelesaian:

Diketahui:clip_image116[1]clip_image120

Ditanyakan:

a. clip_image122 jika clip_image124

b. clip_image118[1] maksimum =.....? (clip_image127)

c. clip_image122[1] jika clip_image129

Jawab:

a. Jika clip_image124[1], maka clip_image118[2] adalah:

clip_image116[2]

clip_image132

clip_image134

clip_image136

Jadi penjualan awalnya adalah 100

b. Penjualan maksimum terjadi saat tingkat pertumbuhannya nol clip_image138

clip_image140

clip_image142

clip_image144

Jadi, penjualan maksimunya adalah 1000

c. Jika clip_image129[1], maka clip_image118[3] adalah:

clip_image116[3]

clip_image146

clip_image148

clip_image150

clip_image152

Jadi, besar penjualannya bila pengeluaran untuk promosi dan advertensi 5 adalah clip_image154

 

4. Fungsi Pengajaran

Fungsi pengajaran umumnya dipakai oleh psikolog untuk menggambarkan taraf pertumbuhan pendidikan manusia, yang sifatnya meningkat cepat pada awalnya dan semakin lambat ketika mendekati asimtut batas pertumbuhan. Fungsi ini dinyatakan sebagai berikut.

clip_image156

clip_image106[1], clip_image104[1], dan clip_image004[4] adalah konstanta positif

clip_image161 = keaktifan belajar

clip_image163 = variabel pendorong

Bentuk grafiknya secara umum adalah sebagai berikut.

clip_image165

Gambar 04 Grafik Fungsi Pengajaran

Fungsi pengajaran dalam ewkonomi dapat digunakan untuk menjelaskan fungsi biaya dan produksi.

Contoh:

Biaya produksi total (dalam jutaan rupiah) dari sebuah perusahaan dapat dinyatakan sebagai berikut.

clip_image167

clip_image106[2] menyatakan biaya produksi dan clip_image170 menyatakan kuantitas produksi

a. Berapa besar biaya tetapnya?

b. Bila berproduksi 100 unit, berapa besar proporsi biaya produksi tetapnya terhadap biaya produksi totalnya?

Penyelesaian:

Diketahui: clip_image167[1]

Ditanyakan:

a. clip_image106[3]=......? jika clip_image173

b. Besar proporsi biaya produksi tetapnya terhadap biaya produksi totalnya =......? jika clip_image175

Jawab:

a. Jika clip_image173[1], maka clip_image106[4]adalah

clip_image167[2]

clip_image177

clip_image179

clip_image181

Jadi biaya tetapnya adalah 50 juta rupiah

b. Jika clip_image175[1], maka clip_image106[5] total adalah

clip_image167[3]

clip_image185

clip_image187

clip_image189

clip_image191

clip_image193

Jadi, besar proporsi biaya produksi tetapnya terhadap biaya produksi totalnya (clip_image175[2]) adalah:

clip_image195

clip_image197

3 komentar

Wahh keren gan, lengkap banget artikel'a :D
Kunjungi juga ya
Ikubaru Blogzia

sayang sekli gak bisa di copy,padahal ada tugas buat cari fungsi eksponen dan logaritma

Terima kasih atas komentar yang telah anda berikan
EmoticonEmoticon