ISOMETRI

1. Definisi Isometri

Dalam Geometri Transformasi dikenal beberapa transformasi diantaranya Pergeseran, Rotasi, dan Pencerminan. Pada tiga transformasi ini, ukuran dan bentuk bangun yang telah mengalami transformasi tidak berubah. Hal ini menghasilkan istilah baru bahwa ketiga transformasi itu disebut transformasi yang isometri, suatu istilah yang berasal dari bahasa Yunani yang berarti ”sama luas”.

Definisi:

Misalkan T suatu transformasi , transformasi T ini disebut isometri jika dan hanya jika untuk setiap pasangan titik P dan Q anggota dari bidang Euclides V berlaku clip_image002 dimana clip_image004 dan clip_image006.

Untuk memahami definisi di atas perhatikan contoh berikut:

Misalkan garis clip_image008 pada bidang clip_image010 dan transformasi clip_image012 ditetapkan sebagai berikut:

i. Jika clip_image014maka clip_image016

ii. Jika clip_image018maka clip_image020

Apakah transformasi T ini merupakan suatu isometri?

Penyelesaian:

Ambil dua titik sembarang clip_image022 dan clip_image024 anggota clip_image010[1] misalkan clip_image020[1] dan clip_image027, sehingga diperoleh

a. g sumbu dari clip_image029, misalkan clip_image031 clip_image033, maka clip_image035

b. g sumbu dari clip_image037, misalkan clip_image039 clip_image041, maka clip_image043

Perhatikan gambar berikut ini:

clip_image044

Kemudian pandang clip_image046 dengan clip_image048. Karena clip_image050, clip_image052 (siku-siku), dan clip_image054, maka clip_image046[1]=clip_image048[1]. Akibatnya:

a. clip_image056

b. clip_image058

Sekarang pandang clip_image060 dengan clip_image062. Karenaclip_image056[1], clip_image064, dan clip_image066, maka clip_image060[1]=clip_image062[1]. Akibatnyaclip_image070

Karena clip_image022[1] dan clip_image024[1]di ambil sembarang titik pada clip_image010[2] dapat di simpulkan bahwa untuk setiap pasangan titik clip_image022[2] dan clip_image024[2]pada clip_image010[3] ,diperoleh clip_image070[1] sehingga transformasi clip_image012[1] yang ditetapkan di atas adalah suatu isometri.

Contoh lain:

Asumsi bahwa sebuah sistem koordinat membangun suatu bidang datar dan pemetaan clip_image012[2] didefinisikan untuk suatu titik clip_image075 oleh: clip_image077. Maka dapat ditunjukan bahwa clip_image012[3] suatu transformasi menunjukan clip_image012[4] suatu isometri, ambil sepasang titik clip_image079 dan clip_image081 bayangan masing-masing clip_image083 dan clip_image085 kemudian buktinya bahwa clip_image087

clip_image072

Dengan rumus jarak diperoleh:

clip_image089

clip_image091

clip_image093

clip_image095

Karena itu, clip_image012[5] adalah isometri.

2. Sifat-sifat Isometri

Suatu pencerminan atau refleksi pada sebuah garis clip_image008[1] adalah suatu transformasi yang mengawetkan jarak atau juga dinamakan suatu isometri. Selain mengawetkan jarak antara dua titik, suatu isometri memiliki sifat-sifat seperti yang tertuang dalam teorema berikut.

Teorema 1:

Setiap Isometri bersifat:

a. memetakan garis menjadi garis

b. mengawetkan besarnya sudut antara dua garis

c. mengawetkan kesejajaran dua garis

Bukti:

a. memetakan garis menjadi garis

Andaikan g sebuah garis dan T suatu isometri. Kita akan membuktikan bahwa clip_image098 adalah suatu garis juga.

clip_image099

Ambil clip_image101dan clip_image103. Maka, clip_image105, clip_image107: melalui clip_image109 dan clip_image111 ada satu garis misalnya clip_image113. Akan kita buktikan clip_image115, untuk itu akan dibuktikan clip_image117 dan clip_image119.

i. Bukti clip_image117[1]

Ambil clip_image121. Oleh karena bidang kita adalah bidang Euclides. Kita andaikan clip_image123 artinya, clip_image125. Oleh karena clip_image012[6] suatu isometri, jadi T suatu transformasi maka ada clip_image128sehingga clip_image130 dan oleh karena clip_image012[7] suatu isometri maka clip_image133: begitu pula clip_image135. Jadi pula clip_image137. Ini berarti bahwa clip_image139 segaris pada clip_image008[2] dan clip_image142.

Sehingga clip_image117[2] sebab bukti serupa berlaku untuk posisi clip_image144 dengan clip_image146 atau clip_image148.

ii. Bukti clip_image119[1]

Ambil lagi clip_image150. Maka ada clip_image152 sehingga clip_image154 dengan clip_image156 misalnya clip_image158., artinya clip_image152[1] dan clip_image161. Oleh karena clip_image012[8] sebuah isometri maka clip_image163, clip_image165, clip_image167. Sehingga clip_image169. Ini berarti bahwa clip_image171 segaris, yaitu melalui clip_image109[1] dan clip_image111[1]. Oleh karena clip_image113[1] satu-satunya garis yang melalui clip_image109[2] dan clip_image111[2] maka clip_image176. Jadi haruslah clip_image119[2].

Bukti serupa berlaku untuk keadaan clip_image178 atau clip_image180

Sehingga clip_image115[1]. Jadi jika clip_image008[3] sebuah garis maka clip_image182 adalah sebuah garis.

b. mengawetkan besarnya sudut antara dua garis

Ambil sebuah clip_image184.

clip_image188clip_image192

Andaikan clip_image194, clip_image196, clip_image198. Menurut sifat (a), maka clip_image200 dan clip_image202 adalah garis lurus. Oleh karena clip_image204 maka clip_image206 sedangkan clip_image208, clip_image210, clip_image212. Sehingga clip_image214clip_image216. Jadi clip_image218.

Sehingga suatu isometri mengawetkan besarnya sebuah sudut.

c. mengawetkan kesejajaran dua garis

clip_image219

Kita harus memperlihatkan bahwa clip_image221// clip_image223. Andaikan clip_image221[1] memotong clip_image223[1] di sebuah titik clip_image225, jadi clip_image227 dan clip_image229. Oleh karena clip_image012[9] sebuah transformasi maka ada clip_image022[3]sehingga clip_image233 dengan clip_image235 dan clip_image237. Ini berarti bahwa clip_image239 memotong clip_image241 di clip_image022[4], jadi bertentangan dengan yang diketahui bahwa clip_image239[1]//clip_image241[1].Maka pengandaian bahwa clip_image221[2] memotong clip_image223[2] salah. Jadi haruslah clip_image221[3]// clip_image223[3].

Sehingga suatu isometri mengawetkan kesejajaran dua garis.

Akibat:

Salah satu akibat dari sifat (b) teorema 1 ialah bahwa jika dua buah garis misalkan a dan b dimana clip_image245 maka clip_image247 dengan clip_image012[10] sebuah isometri.

Bukti:

Dipunyai clip_image245[1] akan ditunjukkan clip_image247[1]. Andaikan T(a) tidak tegak lurus dengan T(b) maka terapat sudut antara T(a) dengan T(b) yang tidak sama dengan 90o. Karena isometri mengawetkan besarnya sudut antara dua garis maka sudut yang dibentuk oleh a dan b tidak sama dengan 90o. Hal ini kontradiksi dengan clip_image245[2]. Jadi pengandaian harus dibatalkan.

Artinya clip_image247[2].

Jadi apabila clip_image245[3] maka clip_image247[3] dengan T sebuah isometri.

Teorema 2:

Komposisi dua buah isometri adalah isometri

Bukti:

Ambil dua isometri, namakan dengan clip_image249 dan clip_image251, terjadilah komposisi dari clip_image249[1] dan clip_image251[1].

Yaitu clip_image255 dan clip_image257 . Dalam uraian ini akan ditunjukkan salah satu saja clip_image255[1]. Ambil dua titik sembarang clip_image259, misalkan clip_image261, clip_image263 dan clip_image265, clip_image267, berdasarkan pemisalan ini dapat dicari:

clip_image269

clip_image271

Karena clip_image251[2] isometri maka clip_image273 dan karena clip_image249[2] isometri pula clip_image275. Karena clip_image275[1] dan clip_image273[1], maka clip_image087[1]. Jadi clip_image255[2] suatu isometri.

Soal Latihan

1. Diketahui garis-garis s, t, u dan titik A,B seperti dapat dilihat pada gambar di bawah ini. clip_image012[11] adalah sebuah isometri dengan clip_image282 dan clip_image284. Jika clip_image286lukislah clip_image288!

clip_image279

2. Diketahui garis clip_image290 dan clip_image292. Tulislah sebuah persamaan garis clip_image294!

3. Diketahui lima garis g, g’, h, h’, dan k sehingga clip_image296 dan clip_image298. Apabila clip_image300 buktikan clip_image302!

4. Diketahui garis-garis g,h, dan h’ sehingga clip_image304 apakah ungkapan di bawah ini benar?

a. Jika clip_image306 maka clip_image308.

b. Jika clip_image310 maka clip_image312.

c. Jika clip_image314, maka clip_image101[1].

5. Jika clip_image214[1]clip_image317 dan clip_image319, selidikilah apakah clip_image321 terletak pada garis clip_image323.

Pembahasan

1. clip_image325, clip_image327. Karena clip_image329 maka clip_image331

clip_image286[1] dan T isometri, maka clip_image333 atau clip_image335.

Gambar:

clip_image336

2. Diketahui garis clip_image290[1] dan clip_image292[1]

Gambar:

clip_image337

Karena clip_image339 sebuah refleksi pada clip_image341, maka merupakan isometri.

Jadi, menurut teorema ”sebuah isometri memetakan garis menjadi garis”, dan clip_image343, maka clip_image345 adalah sebuah garis.

Titik clip_image347 merupakan titik potong antara garis clip_image008[4] dan sumbu clip_image350.

Titik clip_image352 merupakan titik potong antara garis clip_image008[5] dan clip_image341[1].

Jadi clip_image355 dan clip_image357.

Karena clip_image357[1] maka clip_image360

Jadi clip_image345[1] akan melalui titik clip_image352[1], dan clip_image345[2] akan melalui clip_image365

§ Koordinat titik clip_image352[2]

g : x + 2y = 1 clip_image367 x + 2y – 1 = 0,

h : x = -1

substitusikan x = -1 ke persamaan garis g : x + 2y = 1, diperoleh:

-1 + 2y – 1 = 0

2y = 2

y = 1

Jadi clip_image369

§ Koordinat titik clip_image365[1]

Titik clip_image372adalah titik potong clip_image341[2] dengan sumbu clip_image350[1].

clip_image375

Karena isometri maka clip_image377

Jadi, clip_image379

Misal titik clip_image381

Absis titik clip_image109[3] adalah clip_image384

Diperoleh clip_image386 dan clip_image388

Jadi, clip_image390

Jadi, g’ melalui titik C(-1,1) dan clip_image390[1]

Persamaan garis g’: clip_image393

clip_image395

clip_image397

clip_image399

clip_image401

Jadi, clip_image403

3. Diketahui clip_image300[1]

Andaikan g tidak sejajar h, maka menurut teorema, bahwa isometri clip_image405 mengawetkan kesejajaran 2 garis, diperoleh clip_image345[3] tidak sejajar dengan clip_image113[2]. Padahal diketahui bahwa clip_image300[2], maka pengandaian harus dibatalkan, artinya clip_image409.

4. Diketahui garis-garis clip_image008[6], clip_image341[3], dan clip_image113[3] sehingga clip_image304[1]

a. Jika clip_image306[1] maka clip_image308[1].

clip_image410

Jadi benar jika clip_image306[2] maka clip_image308[2].

b. Jika clip_image310[1] maka clip_image312[1].

clip_image414

Jadi benar jika clip_image310[2] maka clip_image312[2].

c. Jika clip_image314[1], maka clip_image101[2].

clip_image415

Jadi benar jika clip_image314[2], maka clip_image101[3].

5. Jika g = {(x,y) | y = -x} dan h = {(x,y) |3y = x + 3}

Gambar:

clip_image416

Karena clip_image418 sebuah refleksi pada clip_image341[4] maka merupakan isometri.

Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan clip_image421, maka clip_image113[4] adalah sebuah garis.

Titik clip_image352[3] merupakan titik potong antara garis g dan h.

Jadi, clip_image355[1] dan clip_image357[2].

Karena clip_image355[2]maka clip_image428

Jadi h’ akan melalui titik clip_image352[4]

Ambil titik A(0,1) dan B(-3,0) karena clip_image430 maka clip_image432 dan clip_image434.

Jadi clip_image113[5] melalui clip_image109[4] dan clip_image111[3]. Dimana pencerminan pada garis clip_image438 berlaku misalkan clip_image440 maka bayangannya clip_image442. Sehingga clip_image444 dan clip_image446.

Persamaan garis h’: clip_image393[1]

clip_image448

clip_image450

clip_image452

Jadi persamaan garis clip_image454

II.2. Isometri Langsung Dan Isometri Lawan

Untuk lebih memahami isometri langsung dan isometri lawan terlebih dahulu kita bahas fenomena isometri yang diperlihatkan pada gambar berikut .

clip_image456

Pada gambar 1 tampak bahwa apabila pada segitiga ABC yang dicerminkan pada garis g dimana, urutan kelilingnya A→B→C adalah berlawanan dengan putaran jarum jam menghasilkan peta yaitu segitiga clip_image458clip_image460clip_image462 yang urutan kelilingnya clip_image458[1]clip_image460[1]clip_image462[1] adalah sesuai dengan jarum jam.

Pada gambar 2 dapat dilihat lihat sebagai isometri yaitu suatu rotasi (putaran) segitiga ABC yang mengelilingi titik O. Dimana, pada segitiga ABC urutan keliling adalah A→B→C adalah berlawanan dengan putaran jarum jam dirotasikan mengelilingi titik O yang menghasilkan peta yaitu segitiga clip_image467clip_image469clip_image471 dengan urutan keliling clip_image467[1]clip_image469[1]clip_image471[1] adalah tetap berlawanan dengan putaran jarum jam.

Untuk membahas lebih lanjut fenomena isometri di atas, kita gunakan konsep tiga titik yang tak segaris. Andaikan (P1,P2,P3) tiga titik yang tak segaris maka melalui P1,P2 dan P3 ada tepat satu lingkaran l, kita dapat mengelilingi l berawal misalnya dari P1 kemudian sampai di P2 , P3 dan akhirnya kembali ke P1. Apabila arah keliling ini sesuai dengan putaran jarum jam maka dikatakan bahwa tiga titik (P1,P2,P3) memiliki orientasi yang sesuai dengan putaran jarum jam (orientasi yang negatif), apabila arah keliling itu berlawanan dengan putaran jarum jam maka dikatakan bahwa tiga titik (P1,P2,P3) memiliki orientasi yang berlawanan denga putaran jarum jam (orientasi yang positif), jadi pada gambar 1, (A,B,C) memiliki orientasi positif sedangkan (A1,B1,C1)memiliki orientasi yang negatif, pada gambar 2 orientasi (A,B,C) adalah positif dan orientasi (A2,B2,C2) tetap positif, jadi pencerminan pada gambar 1 mengubah orientasi sedangkan putaran pada gambar 2 mengawetkan orientasi.

Definisi:

1. Suatu transformasi T mengawetkan suatu orientasi apabila untuk setiap tiga titik tak segaris (clip_image476,clip_image478,clip_image480 ) orientasinya sama dengan (clip_image482,clip_image484,clip_image486) dengan clip_image482[1]= T (clip_image476[1]) , clip_image484[1]= T (clip_image478[1]) , clip_image486[1]= T(clip_image480[1]).

2. Suatu transformasi T membalik suatu orientasi apabila untuk setiap tiga titik yang tak segaris (clip_image476[2],clip_image478[2],clip_image480[2] ) orientasinya tidak sama dengan orientasi peta-petanya (clip_image482[2],clip_image484[2],clip_image486[2]) dengan clip_image491, clip_image493, clip_image495.

Definisi:

Suatu transformasi dinamakan langsung apabila trasformasi tersebut mengawetkan orientasi, suatu transformasi disebut transformasi lawan apabila transformasi tersebut mengubah orientasi.

Salah satu sifat penting dalam geometri transformasi adalah:

Teorema 3:

Setiap refleksi pada garis adalah isometri lawan.

Teorema 4 tanpa bukti, tidak setiap isometri adalah isometri lawan. Hal ini dapat dilihat pada gambar 2, dimana isometri (yaitu rotasi pada titik O) adalah sebuah isometri langsung. Oleh karena itu dapat kita kemukakan teorema berikut, tanpa bukti yaitu :

Teorema 4 :

Setiap isometri adalah sebuah isometri langsung atau sebuah isometri lawan.

 

Soal Latihan :

1. Pada gambar berikut, terdapat tiga titik tak segaris yaitu clip_image022[5], clip_image024[3], clip_image510, clip_image012[12] dan clip_image513 adalah isometri-isometri dengan clip_image515, clip_image517, clip_image519 sedangkan clip_image521, clip_image523, clip_image525. Termasuk golongan manakah clip_image012[13] dan clip_image513[1] itu ?

clip_image506

2. Isometri clip_image012[14] memetakan clip_image534 pada clip_image128[1], clip_image537 pada clip_image156[1] dan clip_image352[5] pada clip_image541 , apabila clip_image012[15] sebuah isometri lawan tentukan titik clip_image541[1] !

clip_image532

 

3. Sebuah isometri clip_image513[2] memetakan clip_image543 pada clip_image545 , clip_image547 pada clip_image541[2] dan clip_image550 pada clip_image552 , apabila clip_image513[3] sebuah isometri langsung tentukan clip_image552[1].

clip_image559

 

4. Diketahui garis-garis clip_image008[7] dan clip_image341[5] dan titik-titik clip_image022[6] dan clip_image024[4].

clip_image565

Diketahui pula bahwa clip_image571, clip_image571[1], clip_image574, dan clip_image576.

a. Lukislah clip_image578 dan clip_image580!

b. Bandingkan jarak clip_image582 dan clip_image584.

Pembahasan:

1.

clip_image585

Gambar:

clip_image010[10]

Dari gambar di atas dapat diketahui bahwa clip_image012[16] merupakan isometri lawan karena clip_image012[17] mengubah orientasi clip_image022[7], clip_image024[5], dan clip_image510[2]. clip_image513[4] merupakan isometri langsung karena clip_image012[18] mengawetkan orientasi clip_image022[8], clip_image024[6], dan clip_image510[3].

2. Karena clip_image012[19] sebuah isometri lawan maka clip_image012[20] mengubah orientasi clip_image534[1], clip_image537[1], dan clip_image352[6] sehingga clip_image541[3] dipetakan sesuai dengan gambar berikut:

clip_image597

3. Karena clip_image513[5] sebuah isometri lawan maka clip_image012[21] mengubah orientasi clip_image543[1], clip_image547[1], dan clip_image550[1] sehingga clip_image552[2] dipetakan sesuai dengan gambar berikut:

clip_image605

4. a. Gambar:

clip_image612

b. Karena clip_image614 (isometri mengawetkan jarak)

Maka jarak clip_image225[1] dengan clip_image341[6] = jarak clip_image578[1] dengan clip_image341[7]

Jarak clip_image585[1] dengan clip_image341[8] = jarak clip_image622dengan clip_image341[9]

Jadi jarak clip_image624 = jarak clip_image626

Karena jarak clip_image628 = jarak clip_image624[1] dan jarak clip_image624[2] = jarak clip_image626[1], maka jarak clip_image628[1]= jarak clip_image626[2].

Terima kasih atas komentar yang telah anda berikan
EmoticonEmoticon